邱为钢

(湖州师范学院 理学院, 浙江 湖州　313000)



光纤台灯的包络面

邱为钢

(湖州师范学院 理学院, 浙江 湖州313000)

由变分原理推导了重力场中弹性杆的形状方程. 得到了竖直放置光纤开始弯曲时临界长度的数值结果. 数值模拟给出了光纤末端形成的包络曲面，并讨论了它与光纤长度的关系.

弹性势能；光纤；包络面

晚上当你关上大部分灯，点亮光纤台灯时，你会看到如图1所示的景象.

图1　光纤台灯的包络面

从侧面看，所有光纤末端亮的点组成一个包络面(图1中的虚线).我们会问，这个曲面有无解析表达式呢？这个曲面与光纤的哪些物理参数和几何参数有关呢？对于这些问题，假定光纤是一维弹性细杆，质量均匀分布，在文献[1]里可以找到解决问题的弹性杆的形状方程. 但理解这个方程，需要不少弹性理论的基本知识，大部分师范院校的力学和理论力学课程都没有深入阐述. 为让学过变分法的学生知道这个形状方程的由来，我们采用大家熟悉的能量法来推导[2].

弹性杆有两部分势能，一是重力场中的重力势能，二是弯曲弹性势能. 单位长度上的弹性势能与杆的曲率dθ/ds平方成正比，劲度(比例)系数是k[2]. 这样，弯曲光纤总势能是

(2)

其中s1=l/l0. 由解析几何知识可知

(3)

于是量纲归一化后的总势能V′为

(4)

假设切角θ(s)有变化，θ(s)→θ(s)+η(s)，其中变分η(s)满足边界条件η(0)=0. 忽略高阶小量，总势能式(4)有以下变化

(5)

对式(5)再次分部积分，得到

δV′=θ′(s1)η(s1)-θ′(0)η(0)+

(6)

对于任意的η(s)，式(6)为零，于是得到弯曲光纤的形状方程：

(7)

还……