有限覆盖定理的一般形式及其逆

2016-10-13胡绍宗

阜阳师范大学学报(自然科学版) 2016年1期

关键词：开区间有界阜阳

胡绍宗

（阜阳师范学院数学与统计学院，安徽　阜阳　236037）

有限覆盖定理的一般形式及其逆

胡绍宗

（阜阳师范学院数学与统计学院，安徽阜阳236037）

先将数学分析中的有限覆盖定理逐步拓广到一般度量空间，再予证明。

有限覆盖；有界闭集；紧集。

数学分析中所论述的Heine-Borel有限覆盖定理［1］为：

设F=［a，b］是一个闭区间，G是一个开区间族，它覆盖了F，则从G中可选出有限个开区间来覆盖F。

若将F换成直线上有界闭集，G换成开集族，则定理可推广为：

设F是直线上有界闭集，G是开集族，它覆盖了F，则从G中可选出有限个开集来覆盖F。

若将F换成n维闭区间，G换成开区间族，则定理可推广为：

设F=｛（x1，x2，…，xn）|ai≤xi≤bi，i=1，2，…，n｝是一个n维闭区间，G是一个n维开区间族，它覆盖了F，则从G中可选出有限个开区间来覆盖F。

若将F换成n维有界闭集，G换成n维开集族，则定理可推广为：

设F⊂Rn是一个有界闭集，G⊂Rn是一个开集族，它覆盖了F，则从G中可选出有限个开集来覆盖F。

定义1设X为度量空间，F⊂X，如果F中的任何点列必有在X中收敛的子点列，则称F为X中的致密集。

注度量空间中致密集是有界集［2］ 88-89。

定义2度量空间中致密闭集称为紧集。

若将F换成一般度量空间X中的紧集，G换成X中开集族，则可得定理的一般形式为：

有限覆盖定理设X是一般度量空间，F⊂X是一个非空紧集，G⊂X是一个开集族，它覆盖了F，则从G中可选出有限个开集来覆盖F。

为了证明这个一般形式的有限覆盖定理，先证如下的紧集套定理。

紧集套定理设｛Fk｝是度量空间X中的非空紧集列，且满足：

（ⅰ）F1⊃F2⊃…⊃Fk⊃…，

（ⅱ）Fk的直径δ（）Fk→0（k→∞），则存在唯一的点x∈Fk（k=1，2，…）。

证不妨假定对一切k，Fk+1是Fk的真子集，

即

再证唯一性。设另有一点x′∈Fk（k=1，2，… ），则，由题设，于是d（x，x′）=0，从而x=x′。

有限覆盖定理的证明：用反证法。假定定理的结论不成立，即F不能被G中任意有限个开集所覆盖，因F为紧集，即致密闭集，从而为有界闭集，故可设F⊂闭集S｝为X中某个定点，x∈X ，二等分线段R0R1，设分点为R2，则相应地将S分成两个闭集：｛x|R0≤d（x0，x）≤R2｝与，其中必有一个闭集与F的交非空且不能被G中有限个开集所覆盖，记这个闭集为S1，F1=F⋂S1是一个非空紧集，F1⊂S1。

再等分线段R0R2或R2R1，设分点为R3，则相应地将S1分成两个闭集：，或。

其中必有一个闭集与F1的交非空且不能被G中有限个开集所覆盖，记这个闭集为S2，F2=F1⋂S2是一个非空紧集，F2⊂S2，重复这个步骤并不断地进行下去，我们就可以得到一列紧集：

F⊃F1⊃F2⊃…⊃Fk⊃…，它们分别包含在S⊃S1⊃S2⊃…⊃Sk⊃…中

而Fk=Fk-1⋂Sk（k=1，2，…）不能被G中有限个开集所覆盖。

据Sk的作法可知，其直径，又因，故有。由紧集套定理，存在唯一点x-∈Fk（k=1，2，… ），当然更有x-∈F。

因为G覆盖F，所以存在开集G0∈G，使x-∈G0，当k充分大时，有Sk⊂G0，从而