李 宁，张 超，翟立君，刘 允

信道估计误差对ZFBF总速率性能的影响分析

李 宁1，张 超2，翟立君1，刘 允1

（1.中国电子科技集团公司第五十四研究所，河北石家庄050081；2.华中科技大学电子信息与通信学院，湖北武汉430074）

迫零波束成形是一种简单易行的多用户多输入多输出 （MIMO）下行链路线性预编码算法，在用户数充分大时，可以获得接近多用户MIMO下行总速率容量的性能，但是其波束的构造对信道状态信息的精度也有很高的要求。对信道估计误差导致的系统总速率损失进行了建模分析，并得到总速率的2种近似表达式，进而在此基础上以最大化系统有效总速率为目标推导出最优的信道训练时长公式。通过仿真实验验证了此模型的合理性与准确性，对于实际系统的性能分析及设计具有一定的指导意义。

MU-MIMO；ZFBF；信道估计；最优训练序列长度

引用格式：李 宁，张 超，翟立君，等.信道估计误差对ZFBF总速率性能的影响分析［J］.无线电工程，2016，46（5）：25-28，102.

0 引言

多用户 MIMO技术（Multi-user MIMO，MUMIMO）可以获得多址容量的增益［1］。其实现方法有：脏纸编码（Dirty Paper Code，DPC）被证明能够达到理论的信道容量［2］，但实现复杂度极高；迫零波束成型（Zero-Forcing Beam Forming，ZFBF）［3-4］实现简单，在用户数充分大时，多用户分集效应使ZFBF也可以获得接近DPC的总速率性能，因此得到了广泛的研究。

经典ZFBF算法假设基站可以获得理想的信道的状态信息（Channel State Information，CSI），而在实际的系统中，只能将信道信息量化后反馈给基站。由于频谱资源有限，在信道相干时间内反馈信道仅仅可以提供有限的反馈比特数，因此会带来速率损失。文献［5-8］对有限反馈的量化误差对总速率性能带来的影响进行了分析，并提出了改进方案。但都没有关注信道估计误差对系统总速率性能的影响。

本文对多用户MIMO下行链路的ZFBF算法进行了分析，将信道估计误差考虑在内，分有用户调度与无用户调度2种场景分析信道估计误差对ZFBF总速率性能的影响，并在此基础上以最大化有效传输速率为目标，计算得到最优的训练序列长度。

1 系统模型

考虑如图1所示的单小区多用户MIMO通信系统的下行链路，假设小区中有K个用户，基站配有M根天线，每个用户均配备单天线。用户k的信道用1×M的行向量hk表示，则系统的信号模型为：

图1　多用户MIMO下行信道示意

对第k个用户，记sk、wk和Pk分别为对应的发送符号向量、预编码波束向量和发射功率缩放系数，则用户k对应的发射信号为Pkwksk，接收信号为：

式中，第1项是期望信号；第2项为其他用户信号造成的干扰；第3项为高斯噪声。ZFBF算法的基本思想是通过预编码向量的设计使期望接收端的干扰信号为0，即选择wj，使hkwj=0，∀j≠k。

2 信道估计误差对总速率性能的影响

在多用户MIMO系统中，下行波束的构造很大程度上依赖于信道的状态信息，信道状态信息的获取需要由发送端发送训练序列，并在接收端进行信道估计。假设训练序列长度为T，用M×T维的矩阵S表示训练序列矩阵，接收端采用最小均方误差（Minimum Mean Square Error，MMSE）算法进行估计，由于在MIMO信道中采用酉阵作为训练矩阵是MSE最优的［9］，因此按照下面的标准选取S：

式中，P为基站的发射功率，对应的接收信号为：

信道矩阵的MMSE估计为［9-10］：

根据式（5），信道矩阵可以表示为估计矩阵与误差矩阵的和：H=H^+E，估计矩阵H^和误差矩阵E相互独立并且它们的元素均为零均值、循环对称的复高斯分布，方差分别为：

ZFBF实现的前提条件是同时传输的用户数不大于发射天线数，即K≤M。当K＞M时需要先进行用户调度，即从所有用户中选出M个用户，然后在选出的用户组内构造波束矢量。下面分2种情况进行分析。

①K≤M

当K≤M时，不需要进行用户调度。基站根据信道估计值构造迫零单位波束矢量，即

假设对所有用户等功率分配，则每个用户的接收信号为：

式（8）括号内的第2项表示多用户干扰。式中，ek表示用户k的信道估计误差向量。接收机将干扰项视为加性高斯噪声，则对应的遍历总速率为：

记wk为假设不存在信道估计误差时得到的迫零波束向量，则对应的遍历总速率为：

定义ΔRk≜RZFk-Rk为理想情况下的总速率与存在信道估计误差时的总速率差值，即信道估计误差带来是速率损失，可以得出这一差值的上界为［9］：

由这个上界可以得到M个用户的总速率的近似值：

另外，从式（11）可以看出，随着P的增长，速率损失逐渐增大，因此，在高信噪比条件下要维持系统的性能需要提高信道估计的精度。所幸的是，当P→∞时，ΔRk的上界将趋于一个常数，即

②K＞M

当用户数很大时，采用穷搜索实现用户调度的复杂度过高，因此经常使用低复杂度的次优用户选择算法。半正交用户选择（Semiorthogonal User Selection，SUS）算法［3］是在所有用户中选出一组半正交（空间分离度高）且信道质量好的用户，可以证明基于SUS算法的ZFBF是渐进最优的，本文中使用这一算法进行用户调度，再构造波束向量。由于SUS算法与信道估计过程相互独立，所以SUS算法对ΔRk造成的影响相对较小，因此仍然可以用式（11）作为ΔRk的近似值。定义如下总速率的近似表达式：

3 最优训练长度

假设相干时间长度为Tc，用于信道估计的训练时隙数为T，（T≥M），每个时隙长度为τ。则用于数据传输的时间为Tc-Tτ（忽略信息反馈、估计有效信道信息等操作）。假设实际的数据传输速率为R，令α=τ/Tc，可以定义有效传输速率为Reffec≜（1-αT）R，定义最优训练时隙数为使有效传输速率最大的T，即

考虑信道估计误差带来的影响，使用RAPPROX2来近似R。因此，近似的最优训练时隙数为：

求（1-αT）RAPPROX2对T的导数并令其为0，可以求出T^OPT1的值。由于求导后的表达式难以直接求出闭合解，当 α取值较小且 P取值较大时，对式（17）中的求优表达式做进一步近似：

接下来对T求导并令其值为0，可得TOPT的另一个近似值：

下面将通过仿真分析 T^OPT1和 T^OPT2的近似程度，以及TOPT随P的变化规律。

4 仿真结果

为了验证上述分析的准确性，将根据文中数学模型得到的分析结果与实际系统仿真进行比对。仿真建立在图1所示的系统模型下，发射天线数目M=4，接收天线数目为1，信道为平坦瑞利衰落，其元素服从均值为0、方差为1的复高斯分布。

T=6、无用户选择时，总速率-平均SNR的仿真图如图2所示。图2中“理想CSIT”是不考虑信道估计误差的理想情况下系统总传输速率曲线，“实际速率”是采用 MMSE信道估计的实际仿真结果，“近似速率”则根据式（12）对传输速率的近似表达得出的仿真结果。可以看出近似速率与实际速率的变化趋势基本相同，且差值并不大，尤其是在高SNR时，近似速率非常接近实际速率，充分说明了近似式（12）的准确性。

图2　信道估计误差对总速率性能的影响（K=4，T=6）

K=100，T=6时的总速率-平均SNR的仿真图如图3所示。图3中“近似速率1”和“近似速率2”分别对应 RAPPROX1和 RAPPROX2。从图 3中可以看出，高SNR时RAPPROX1与实际速率非常接近，说明采用SUS算法进行用户调度对ΔRk的界定没有什么影响。RAPPROX2的近似效果略差，这是由于使用M log2（1+P log2K/M）来近似RZF带来的影响，但是差值并不大，在信噪比30 dB时，RAPPROX2与实际速率的差值大约为1 bps/Hz。因此，在一些定性分析的场景中完全可以使用 RAPPROX2来代替实际速率。

图3　信道估计误差对总速率性能的影响（K=100，T=6）

K=100，P=15 dB时，有效总速率-训练时隙数的仿真图如图4所示。α取值分别为0.005、0.01 和0.02。图4中的实线为实际的仿真值，虚线则是根据RAPPROX2得到的近似值。从图4中可以看出，虽然近似值和实际值在数值上有比较明显的差异，但是它们的变化趋势很相似，极值点的位置也基本相同，因此根据 RAPPROX2得到的 T^OPT1能较好地刻画TOPT。另外，注意到TOPT附近的几个T值对应的有效速率与最大的有效速率值很接近，如果考虑到仿真中存在的误差，取这几个值作为最优值都是可以接受的，考虑实际系统设计时用于信道估计的开销越小越好，在实际应用中训练序列长度可以在TOPT附近选取较小的值。

图4　有效总速率-训练时隙数仿真（K=100，P=15 dB）

K=100，α分别取0.001和0.005时，最优训练时隙数-平均SNR的仿真图如图5和图6所示。图5和图6中的实线为TOPT的实际仿真值，“近似1”和“近似2”分别代表PT1和OPT2。可以看出T^OPT1和T^OPT2的近似程度都较好。因此利用式（19）可以近似分析TOPT随α、P、K和M等参数的变化规律。式（19）也显示出，随着信噪比的增加，需要的训练序列长度减小，这与图中的变化趋势也是一致的。

图5　最优训练时隙数仿真（K=100，α=0.001）

图6　最优训练时隙数仿真（K=100，α=0.005）

5 结束语

本文在MU-MIMO环境下，对存在信道估计误差时的ZFBF传输过程建立模型，分析了信道估计误差带来的速率损失，并得出下行总速率的近似表达；进而以最大化有效总速率为目标，求得训练序列的最优长度；最后通过仿真对前面的分析进行了验证。仿真结果表明，基于文中模型的分析结果与实际情况吻合度较高，能够较为准确地刻画信道估计误差对ZFBF传输速率性能的影响，通过这种近似，可以更方便地求得训练序列的最优长度，为系统的设计提供参考。

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Analysis of Channel State Estimation Error’s Impact on ZFBF Sum Rate

LI Ning1，ZHANG Chao2，ZHAI Li-jun1，LIU Yun1
（1.The 54th Research Institute of CETC，Shijiazhuang Hebei 050081，China；2.School of Electronic Information and Communications，Huazhong University of Science and Technology，Wuhan Hubei 430074，China）

Zero-Forcing Beam-Forming is a simple downlink pre-coding algorithm for multi-user multi-input multi-output （MIMO）systems.It can approach the downlink capacity of multi-user MIMO when the user number is large enough.However，beam constructing relies on the precision of channel state information.In this paper，the sum rate loss caused by channel state estimation error is analyzed to form two approximations of sum rate.Then the optimal training sequence length is deduced in order to maximize the effective sum rate.Finally，the correctness and accuracy of the analysis are verified by simulations，and the result is useful for the design of practical systems.

MU-MIMO；ZFBF；channel estimation；optimal training sequence length

TN919.3

A

1003-3106（2016）05-0025-04

10.3969/j.issn.1003-3106.2016.05.07

2016-01-09

中国电子科技集团公司第五十四研究所发展基金资助项目（X1228156）。

李 宁 女，（1981—），博士，高级工程师。主要研究方向：无线通信与干扰管理。

翟立君 男，（1981—），博士，高级工程师。主要研究方向：卫星移动通信。