☉江苏省泰州市姜堰区实验初级中学孔忠娣

预设铺垫问题：难题讲评用力点

☉江苏省泰州市姜堰区实验初级中学孔忠娣

在最近一次中考模考测试中，我们改编了一道把关题，不少学生对第二、三问显示出不太适应的状态，为了追求较好的讲评效果，我们对这两问进行了认真准备，特别是预设了大量的铺垫问题，取得了较好的讲评效果.本文先呈现该题的思路突破，并给出跟进的教学设计，与大家分享交流.

一、模考题与思路突破

模考题：如图1，平面直角坐标系中，抛物线y=x2+bx+ c与x轴交于A（-1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C，该抛物线的顶点为D.

（1）求b、c.

（2）设点M在x轴下方的抛物线上，当∠ABM=∠CBD时，求出点M的坐标.

（3）以OB为边在第四象限内作等边△OBP.设点N（n，0），且n＞1，连接PN，把线段PN绕点P顺时针旋转60°得PE，求线段DE的长的最小值.

图1

图2

思路突破：（1）把点A、B的坐标代入y=x2+bx+c中，可求出b=-2，c=-3.

（2）这个小问的起点是首先分析△BCD的形状，可以计算出BC、CD、BD的长，根据勾股定理逆定理发现∠BCD为直角，于是，此时若在y轴上取一点Q（0，-1），如图2，作射线BQ交抛物线于点M，则点M就是符合要求的（满足∠ABM=∠CBD）.进一步再求点M的坐标时，可以先分析出直线BQ的解析式为，再把与y=x2-2x-3联立，可解出点M的坐标

（3）先读懂题意，然后分离图形、排除干扰，如图3，基于“一线三等角”的模式经验，构造△OPN≌△KNE，可得KE=ON=n，再过点E作EH⊥x轴于点H，过点D作 DG⊥EH于G点，可以用含n的式子表示出，进一步在Rt△DEG中利用勾股定理表示出，化简得，由二次函数的性质可分析出：当n=2√3-1时，DE2有最小值7+4√3，相应地，DE有最小值2+√3.

图4

图3

另解分析：如果上述解法在构造上显得较为繁杂，并且对于数式变形要求也太高的话，有理由让我们重新寻找问题的结构.如图4，连接BE，可证△PON≌△PBE，得出∠PBE=∠PON=60°，即点E的运动轨迹在一条直线（直线BG）上！……