武圆

（北京人文大学　理工学院，北京101300）

导体的电阻效应与超导理论

武圆

（北京人文大学理工学院，北京101300）

通过对导体电阻成因的分析，得到导体超导态第一转变温度需满足的条件是在该温度下导体中的电子都应处于束缚态。根据束缚态电子在电场中的Stark效应，解释超导态电子的微观输运图像，进而得出导体超导态转变第一温度的数学表达式。超导体原子的热振动（声子）对原子间的轨域相干有破坏作用，即原子的热振动也是限制超导态转变临界温度的因素，经过分析得到了关于原子热振动的超导态转变第二温度，该转变温度体现的是原子热振动对超导态转变的制约作用。

超导转变温度；相干；声子；束缚态

1911年，昂纳斯发现Hg的电阻在4.2 K时突降到当时的仪器已无法测出的程度，这是人们第一次观察到超导现象，这一发现开拓了一个崭新的物理领域。1957年，Bardeen、Cooper和Schrieffer［1］提出了著名的BCS理论，该理论虽然仅能对40 K以下的超导体做出较好的解释，但对超导研究仍然起到了很大的促进作用；而在近些年的研究中，新的有影响力的理论或模型未见发表［2］。1987年初，美国的朱经武等和中国科学院物理研究所的赵忠贤分别发现了超导转变温度Tc超过90 K的Y-Ba-Cu-O超导体［3］，这虽距离超导的实用又迈进了一步，但仍离室温超导应用很遥远，且进展缓慢。目前，二硼化镁的制备和掺杂［4－5］，以及超导带材的制备等应用研究［6－8］比较活跃。

虽然超导的临界转变温度Tc不断提高，但目前在高温超导方面遇到的困难依然是巨大的［9］。科学界针对超导现象提出的几十种唯象模型虽能解释一些实验现象，但除“BCS电-声机制”外，其他各种交换作用的“激子机制”“双极化子模型”“共振价键态机制（RVB）”以及“电子-负u中心模型”等，在用来解释具体的超导体时，都会遇到许多问题。这说明人们目前对于高温超导电性的认识在理论上还是初步的，需要进行深入探讨。本文将对导体的电阻与超导态进行理论研究，并对超导现象进行分析。

1　导体的电阻效应分析

非超导态的导体导电是导体中自由电子定向移动的结果，而导体中产生电阻则是自由电子在定向移动的过程中与原子碰撞的结果。该碰撞过程可以看作是电子从该原子的无穷远处的能级向低能级跃迁并辐射能量的过程，而跃迁到低能级的电子可能会在室温下摆脱原子核的束缚而再次成为自由电子，继续参与导电，并继续与下一个原子碰撞辐射能量。图1所示为导体产生电阻的微观图像。

图1　电子与原子碰撞示意图

假设某导体在室温下原子数密度为n，半径为r，且每个原子贡献s个自由电子，即电子数密度为sn，则该导体单位体积的电子数为Q=1·sn（以下讨论均为单位体积的导体），电子在导体中定向移动的平均速率为u，电子直径为2d，则由图1可知，中心在半径为（r+d）的折圆管内的原子均会与该单电子相碰撞，故单电子与导体原子的碰撞频率为

假设每一次电子与原子碰撞使原子辐射的能量都为hν，则单自由电子使原子辐射的功率为Pe=Zhν=（r+d）2unhν，导体中所有的自由电子使导体原子辐射的功率P=QPe=（r+d）2usn2hν。可见，影响材料电阻大小的因素仅为u。过大的u将会导致电子向更低能级跃迁，辐射出更高频率的能量，使导体出现发光发热的现象，而损失大量的电场能。若辐射的能量又被其他原子吸收，则该原子会产生振动，从而使导体产生热效应。

2　导体电阻随温度的变化与导体电子的束缚态

假设在某导体中，原子价电子层电子摆脱原子核束缚所需要的最低能量为Eε，即最外层电子的活化自由能为Eε，则每个价电子摆脱原子核束缚成为自由电子的概率服从Boltzmann分布，即

其中，T为热力学温度，F（T）为电子在T温度下摆脱原子核束缚而成为自由电子的概率，K为Boltzmann常数。

由于束缚态的电子不参与碰撞，即束缚态电子对导体电阻效应没有贡献，这样，根据以上分析与（2）式可得，在外电场不变的情况下，导体电阻随温度的变化关系，也即P和温度的关系为P（T）=P·F（T），即

由以上分析可知，要使导体产生零电阻效应（即导体电阻几乎为零），应使导体在某一温度T范围内有P（T）≈0，而此时应有F（T）≈0，即导体中原子最外层的电子基本都处于束缚状态，导体中几乎无自由电子与原子碰撞辐射能量。也就是说，超导态转变的首要条件是导体中原子的最外层电子处于束缚态。

功率损耗P（T）也可以使导电材料原子的束缚态电子变为自由电子，产生的自由电子又可在电场作用下与原子碰撞并辐射功率E（T）。结合以上分析可知，E （T）应是P（T）的函数，即E（T）也是随温度变化的。总之，实际导体材料的电阻效应Q（T）主要是P（T）与E（T）的和，即

3　超导态微观图像及材料的超导态第一临界转变温度

3.1Stark效应与超导微观图像

当导体处于超导态时，对超导体中导电电子的波函数的计算不具有一般性，这主要是因为能产生超导态的材料多种多样，包括单质、化合物、合金等，每一种超导材料都对应一个不同的超导态电子的波函数。虽然如此，但是每一种超导材料都遵循和对应着相同的超导原理以及一个基本的微观超导图像，比如，当氢原子处于基态时，若沿水平方向上加上均匀电场ξ，则氢原子基态电子的运动规律（Stark效应）是，在无外加电场时，氢原子基态波函数为其中为Bohr半径，零级能量为，由参考文献［10］知且视外加电场为微扰，经过计算［10］可得氢原子基态波函数的极化率为，即氢原子基态波函数在电场中产生了偏离（如图2）。此效应具有一般性，即其他原子也会产生类似的效应。

图2　氢原子概然半径偏离示意图

上述模型中的“原子”，不仅可以表示单质原子，也可以推广为组成超导体的符合布洛赫周期势场的晶体。为了分析方便，以下分析均以“原子”模型为研究对象。

两个价电子层轨域相干的原子处在沿水平方向上的均匀电场ξ中又是怎样的一种物理图像呢？价电子波函数在电场中出现偏离，会使价电子在原子轨域做定向移动，且无能量损耗，将该图像推广至整个导体，便是导体在束缚态温度下的超导微观图像，如图3所示。

可见，所谓的超导态就是电子处在束缚态并在电场的作用下在价电子轨域做定向移动的效应，且该定向运动过程没有碰撞等能量损耗。

3.2超导材料的第一临界转变温度

由2可知，P（T）≈0时表示材料的自由电子转变为束缚态电子，但因为满足P（T）≈0的P的值很多，所以材料的导电电子转变为束缚态电子并不一定表示材料转变成了超导体。假设P（T）的取值PN满足数值大小约等于零的条件，即P（T）=PN≈0，但此时材料可能并没有进入超导态。这是因为，尽管PN取值很小，但导电材料依然可以产生一定的能量损耗，且这些能量损耗能使该导电材料中的束缚态电子变为自由电子，该部分自由电子将继续在电场作用下与材料原子碰撞并辐射能量E（T），这些能量与P（T）的累加又破坏了其他电子的束缚态，从而引发对材料束缚态电子的“雪崩”式破坏，即该超导材料在PN取值下不能形成稳定的超导态。

图3　电子超导态微观输运图像（一维）

因此，P（T）的取值必须进行严格的限制，假使在允许范围内，P（T）的取值最大不超过PS时表示材料进入超导态，且此时E（T）=0可以忽略不计，即导电材料产生的能量损耗几乎不会对该材料的束缚态电子产生影响，则在超导态时，（4）式可变为

M为一受PS和具体材料性质影响的无量纲数，且M∈（0，1），因而ln M也为一受具体材料影响的无量纲数。当（8）式取等号时，T1即为超导材料的第一临界转变温度。

在超导体中，处于原子轨域中的束缚态电子遵守泡利不相容原理，即在电子层轨域的束缚态电子最多有两个，且这两个电子必须是自旋相反的。当有外界强电场或磁场破坏其中一个电子的束缚态，那么另一个电子摆脱束缚态成为自由电子的概率服从如（2）式的Boltzmann分布。这也是笔者认为实验观测发现磁通量子化中电子是“成对”的原因。

3.3电场对超导的影响

当导体处于超导态时，沿水平方向加均匀电场ξ，当电子由价电子层趋近原子核方向时，外加电场对电子做正功，使该价电子的活化自由能增加

而当价电子远离原子核时，外加电场对价电子做负功，使该价电子的活化自由能减少

从（9）式与（10）式可知，电场对超导体电子做功之和ΔE为0，即ΔE=ΔE++ΔE-=0。

电场使价电子的活化自由能增加，将维护电子的束缚态；而电场使该电子的活化自由能减小，将破坏电子的束缚态，使束缚态电子转变为自由电子，这将降低超导转变的临界转变温度。取θ=0，由（8）式得

另外，关于磁场对超导的影响分析与对超导施加电场的分析类似，不再赘述。

4　超导态第二临界转变温度

由以上论述可知，超导态中原子之间的轨域相干也是导体转变至超导态的必要条件，而原子的热振动会破坏原子间的轨域相干。

4.1温度对原子之间轨域相干的破坏

设当温度T无限趋于绝对零度时，导体中两原子间的相干度为l（即两相邻原子间的最大重合度为l，如图3所示），原子间恢复力系数为β，且原子的热运动符合Maxwell-Boltzmann速率分布律，即

其中，m为原子的质量，v为原子的热运动速率。

考虑到热运动速率大的原子也会对原子间相干度有更大的影响和破坏作用，故在考虑原子热运动时使用原子热运动的均方根速率vrms，即

要保证两个原子之间的轨域相干，则必须使原子在某一温度T2时，原子热运动的最大振幅ΔC不大于轨域相干度的一半，即

由于恢复力系数β的存在，原子的热运动可看作是原子在平衡位置的简谐振动，又考虑到原子的每个振动方向上总相当于两个原子相互为相干态（如图3所示），故有

由（16）式和（14）式可得该超导体的超导态第二温度

导体材料转变为超导材料还须满足（17）式的温度限制，即必须满足转变温度Tc=min（T1，T2）。

4.2外应力对超导第二临界转变温度的影响

当某一超导材料中的价电子处于束缚态时，若对该材料沿水平方向施加一外应力F，则该固体原子之间沿水平方向上的相干度将增加δF，即在外应力F的作用下，固体原子之间沿水平方向的相干度为lF=l+δF。

在维持材料原子相干态的情况下，原子热运动的最大振幅ΔC在F的作用下可增加到ΔFC，结合（14）式可得

这将增加超导体的超导第二临界转变温度，根据（16）式和（18）式可得在F的作用下，超导第二临界转变温度为

可见，在导体电子为束缚态条件下，对超导体施加外应力将会显著提高超导临界转变温度［9］，但通过该方法也仅能使超导临界转变温度提高到超导材料的第一临界转变温度。

5　本文的不同认识和理解

5.1导体材料原子的热振动对电阻效应的影响

由4中的分析可知，材料原子（或材料晶胞）振动的幅度Δ一般小于等于其原子间相干度l，而原子间相干度一定远远小于其原子半径r，即

材料原子（或材料晶胞）的振动幅度Δ相当于增加了电子与原子的有效碰撞半径，即增加了原子的有效碰撞面积，也即增加了电子与原子的碰撞频率。由（1）式可得

则

又根据（20）式知

即

可见，材料原子的热振动效应基本不会对电子与原子的碰撞频率构成影响，即导体材料原子的热振动对电阻效应的影响可以忽略。

使材料原子（或材料晶胞）振动的幅度Δ等于其原子间相干度l的温度为该材料的固-液相变温度，在此温度下，材料原子间的相干度极小，原子在材料中具有流动性。根据（16）式可知一般凝聚体的固-液相变温度为

一般导体温度都会小于其固-液相变点的温度，即实际材料原子（或材料晶胞）振动的幅度Δ远小于其原子间相干度l。导体材料原子的热振动对电阻效应贡献是极小的。

另外，导体材料的杂质与缺陷也是影响电阻效应的重要因素，但考虑到本文所讨论的材料为理想纯净材料，即没有杂质与缺陷的材料，该类理想材料的电阻效应主要由P（T）与E（T）构成，且当超导材料处于超导温度范围内时，该超导体的电阻效应是P（T）贡献的。因此，在超导转变中，材料的电阻会出现一个“骤然变零”效应，即材料在超导转变时电阻效应E（T）突然消失。

目前所制备的超导材料已经非常接近该理想导体材料，其杂质和缺陷引起的电阻效应基本可以忽略。

5.2对具有高超导转变温度陶瓷材料的解释

以前被称为绝缘体的陶瓷材料，有很多已经被发现是超导材料。笔者对此现象的解释是：这些陶瓷材料在较高温度下便满足前文所述的所谓超导第一临界温度，即超导陶瓷的电子处于束缚态，当温度继续降低时，陶瓷材料满足超导第二临界温度，即轨域相干。因为陶瓷类材料氧化物间的作用力比较小，即所谓原子间相干度l较小（物理特性表现为该类材料的延展性较差等），所以，这类材料的超导第一临界温度往往大于其超导第二临界温度，一个具体的表现是：在对这类超导材料施加外应力时往往能提高其超导第二临界温度。可见，束缚态是材料超导转变的基本条件之一。

6　结论

根据本文中所建立的一般导体材料中电子与原子碰撞的物理模型及材料电子在超导态下的微观输运模型可得如下结论。

（1）导体产生的电阻效应是自由电子在做定向移动时与原子碰撞并损失能量的结果。若辐射的能量被其他原子吸收，会使该原子产生热运动而导致导体发热。

（2）材料向超导体转变的条件之一是其原子的最外层电子处于束缚态。超导体电子输运是基于原子轨域电子在电场中的Stark效应，电场对超导转变温度也有影响。

（3）原子的热振动对超导态有破坏作用，即热振动会对超导体临界转变温度产生限制，不过可以通过对超导体施加外应力来抑制原子的热振动对超导态的破坏，这表现为在对超导体施加外应力时，超导转变临界温度显著提高。

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【责任编辑梅欣丽】

Resistance Effect of Conductors and the Theory of Superconductivity

WU Yuan
（College of Science and Technology，Beijing Humanities University，Beijing 101300，China）

From the analysis of the origin of conductor resistance，it was known that the first transition temperature of a superconductor was such a temperature at which all the electrons in the conductor should be in a bound state.Microscopic transport images of electrons in superconducting state were described by using the Stark effect of atoms'bound electrons in an electric field，and a mathematical expression was then deduced for the first superconducting state transition temperature.The thermal vibration （phonon）of superconductor atoms had a destructive effect on the inter-atom orbital coherence，in other words，the thermal vibration of atoms was another factor restricting the transitional critical temperature of superconducting state.The second superconducting state transition temperature，which was related to atomic thermal vibration，was found by analysis.This temperature reflected the restrictive effect of atomic thermal vibration on superconducting state transition.

superconducting transition temperature；coherence；phonon；bound state

O511+.2

A

2095-7726（2016）03-0015-05

2015-11-07

武圆（1991-），男，河南永城人，研究方向：理论物理。