程惠茹

（河南师范大学数学与信息科学学院，河南　新乡453007）

基于新蕴涵算子的剩余格

程惠茹

（河南师范大学数学与信息科学学院，河南新乡453007）

定义了一个新的蕴涵算子，证明了该蕴涵算子能构成剩余格和可交换剩余格，还证明了BL-代数是可交换剩余格的特殊情况。

蕴涵算子；剩余格；BL-代数

1986年，K.T.Atanassov提出了直觉模糊集（IFS）的概念，并发展了Zadeh模糊集的相关理论［1-2］。直觉模糊集的推导技巧为描述和处理事物的模糊性、系统的不确定性和鲁棒性提供了有效方法，直觉模糊蕴涵算子和剩余格理论在模糊推理中发挥着重要的作用。张建名等［3］研究了BL-代数中的广义模糊虑子。ZHU Yiquan等［4］研究了剩余格中的虑子理论。薛占熬等［5］研究了基于Lukasiewicz的直觉模糊三I蕴涵算子的RIL。YU Shan等［6］研究了广义直觉模糊函数的不定积分。徐泽水［7］给出了决策度量中直觉模糊数的排序方法，并研究了区间直觉模糊信息的集成方法和它在决策中的应用。周晓辉等［8］研究了三角模糊数直觉模糊Bonferroni平均算子及其应用。秦华妮等［9］对直觉模糊集的结构化进行了分析。B.Davvaz等［10］对粗糙直觉模糊信息系统进行了研究。A.Saha等［11］研究了软区间值直觉模糊粗糙集。K.V.Thomas等［12］研究了格上的粗糙直觉模糊集。GONG Zengtai等［13］研究了变精度直觉模糊粗糙集模型及应用。在此基础上，笔者定义了一个新的蕴涵算子，证明了该蕴涵算子既可以构成剩余格，又可以构成可交换剩余格，并证明BL-代数是可交换剩余格的特殊情况。

1　基础知识

定义1［1-2］：设U是一个非空论域，U上的直觉模糊集A定义为，其中，µA(x): U→[0,1]和νA(x): U →[0,1]分别表示A的隶属函数和非隶属函数，且对于任意的x∈ U，有

定义2［1-2］：设A和B为直觉模糊集，对于x∈U，记，这两个直觉模糊集的包含关系、等价关系定义为如下形式：1）A⊆B，并且µA(x)≤µB(x)，νB(x)≤νA(x)；2）A= B，并且µA(x)=µB(x)，νA(x)=νB(x)。

定义3［1-2］：设A和B为直觉模糊集，对于x∈U，记这两个直觉模糊集的交、并和补运算定义为如下形式：1）2）

2　基于新蕴涵算子的剩余格

蕴涵算子在模糊逻辑推理中起着关键作用，下面根据定义1、定义2和定义3构造新的蕴涵算子，并证明该蕴涵算子能构成剩余格和可交换剩余格。

定理1：设A、B和C为直觉模糊集，若直觉模糊蕴涵⇒关于第一个变量是单调递减的，关于第二个变量是单调递增的，则有以下结论成立：

1）由A⊆B可以得出B⇒C⊆A⇒C；

2）由B⊆C可以得出A⇒B⊆A⇒C 。

证明：1）由定义2及条件A⊆B可知，µA(x )≤ µB(x)，νA(x)≥νB(x)。又由定义4可知，，A⇒C=〈x,¬µA(x)。由µA(x)≤µB(x)和νA(x)≥ νB(x)，有故有，则有B⇒C⊆A⇒C成立。

由定义2及条件B⊆C可知，µB(x)≤µC(x )， νB(x)≥νC(x)，又由定义4可知，。由µB(x)≤µC(x )，有，又由νB(x)≥νC(x )，有，则有A⇒B⊆A⇒C成立。

定义5［14］：设P是偏序集，称P上的二元运算⊗与→为互为伴随是指以下条件成立：1）⊗:P×P→P关于两个变量都是单调递增的；2）→:P×P→P关于第一变量是不增的，关于第二变量是不减的；3）对于任意的a、b、c∈P，有a⊗b≤c当且仅当a≤b→c。

把“→”拓展到直觉模糊集上，用符号“⇒”表示，当P上的二元运算⊗与⇒互为伴随时，称(⊗,⇒)为P上的伴随对。

定义6［14］：有界格L称为可交换剩余格是指以下条件成立：1）L上有伴随对(⊗,⇒)；2）是带单位元1的交换半群，其中1是L的最大元。

定理2：(RS,∩,⇒)为剩余格的充分条件是以下结论成立：1）∩是不减的，即A≤B时，有A∩C≤B∩C；2）⇒关于第二个变量是不减的，即B≤C时，有A ⇒B≤A⇒C；3）⇒关于第一个变量是不增的，即A≤B时，有B⇒C≤A⇒C；4）A∩B≤C当且仅当A≤B⇒C；5）∩满足结合率，即(A∩B)∩C=A∩(B∩C)；6）∩满足交换率，即A∩B=B∩A；7）∩以1为左单位元，即1∩A=A。

证明：结论1）、结论2）和结论3）已由定理1证明，结论5）和结论6）可由定义3得出，下面仅证结论4）和结论7）。

由以上证明过程可知，A∩B≤C当且仅当A≤B⇒C，即结论4）成立。

定理3：代数结构(RS,∩,⇒)为可交换剩余格的充分必要条件是以下结论成立：1）(L,∧,∨,0,1)是有界格，相应的序为≤，0和1分别为最小元和最大元；2）(L,∧,1)是单位元为1的可交换半群；3）对于任意a、b、c∈L，a∧b≤c当且仅当a≤b⇒c。

证明：由定理2的证明过程可知，(RS,∩,⇒)是可交换剩余格。

定理4：设(L,∧,∨,⇒,⊗,0,1)是一个可交换剩余格，如果对于任意的x、y、z∈L，有A∧B=A⊗(A⇒B)和(A⇒B)∨(B⇒A)=1成立，则(L,∧,∨, ⇒,⊗,0,1)构成BL-代数。

综上所述，可知(L,∧,∨,⇒,⊗,0,1)是一个BL-代数。

在定理4中，(A⇒B)∨(B⇒A)=1称为预线性公理。

例如，闭区间［0，1］关于自然序、运算min(∧)和max(∨)、任意确定的连续t-模(⊗)及其相伴剩余蕴涵(⇒)构成一个BL-代数([0,1];min,max,⊗,⇒)。

可以验证，BL-代数是特殊的可交换剩余格。

［1］ATANASSOV K T.Intuitionistic Fuzzy Sets［J］.Fuzzy Sets and Systems，1986，20:87-96.

［2］ATANASSOV K T，GARGOV G.Interval-valued Intuitionistic Fuzzy Sets［J］.Fuzzy Sets and Systems，1989，31 （3）:343-349.

［3］ZHANG J M，YANG Y.Some Types of Generalized Fuzzy Filters of BL-algebras［J］.Computers and Mathematics with Applications，2008，56:1604-1616.

［4］ZHU Y Q，XU Y.On Filter Theory of Residuated Lattices ［J］.Information Sciences，2010，180（19）:3614-3632.

［5］薛占熬，刘杰，程惠茹，等.基于Lukasiewicz的直觉模糊三I蕴涵算子的RIL［J］.南京大学学报（自然科学），2015 （1）：99-104.

［6］YU S，XU Z S，XU J P，et al.Indefinite Integrals of Generalized Intuitionistic Multiplicative Functions［J］.Fuzzy Optimization and Decision Making，2015，14（4）:459-476.

［7］徐泽水.区间直觉模糊信息的集成方法及其在决策中的应用［J］.控制与决策，2007（2）：215-219.

［8］周晓辉，姚俭，吴天魁，等.三角模糊数直觉模糊Bonferroni平均算子及其应用［J］.计算机应用研究，2015（2）：434-438.

［9］秦华妮，洪智勇，骆达荣.直觉模糊集的结构化分析［J］.控制与决策，2015（3）：561-564.

［10］DAVVAZ B，JAFARZADEH M.Rough Intuitionistic Fuzzy Information Systems［J］.Fuzzy Information Engineering，2013，5（4）:445-458.

［11］SAHA A，ANJAN M.Soft Interval-valued Intuitionistic Fuzzy Rough Sets［J］.Annal of Fuzzy Mathematics and Information，2015，9（1）:279-292.

［12］THOMAS K V，NAIR S L.Rough Intuitionistic Fuzzy Sets in a Lattice［J］.International Mathematical Forum，2011，6（27）:1327-1335.

［13］GONG Z T，ZHNAG X X.Variable Precision Intuitionistic Fuzzy Rough Sets Model and Its Application［J］.International Journal of Machine Learning and Cybernetics，2014，5（1）:263-280.

［14］王国俊.非经典逻辑与近似推理［M］.北京：科学出版社，2000：26-30.

【责任编辑王云鹏】

The Residuated Lattice Based on the New Implication Operator

CHENG Huiru
（College of Mathematics and Information Science，Henan Normal University，Xinxiang 453007，China）

A new implication operator was defined in this paper.It was proved to constitute residuated lattice and the exchangeable residuated lattice.BL-algebra was proved to be a special case of the exchangeable residuated lattice.

implication operator；the residuated lattice；BL-algebra

O141.1

A

2095-7726（2016）03-0007-03

2015-12-21

程惠茹（1985-），女，河南濮阳人，硕士，研究方向：直觉模糊集。