陈晓丹，周颂平

(浙江理工大学理学院，杭州310018)



实意义下分组有界变差条件对柯西并项准则的推广

陈晓丹，周颂平

(浙江理工大学理学院，杭州310018)

对数项级数及积分的柯西收敛准则的单调性和非负性进行推广。主要针对分组有界变差(GBV)条件的非负性作进一步研究，利用GBV性质及巧妙的分割方法给出最终适用条件的数列的柯西并项准则；同时，将系数数列的GBV条件推广到函数的GBV条件，最终给出分组有界变差函数GBVF的柯西并项准则。

数列；积分；分组有界变差；柯西并项准则

0　引　言

基于前人的研究成果，本文取消了GBV的非负性并采用巧妙的分割方法，将实意义下的分组有界变差数列之和转化为熟知的非负条件下的分组有界变差数列之和，得到实意义GBV条件下的数列及积分的柯西并项准则。

1　定　义

(1)

全文用M来代表(1)条件中出现的常数，M1、M2等表示正常数，在不同的地方可能代表不同的值。

2　定理及证明

证明： 对任意n/2≤k≤n，由式(1)可知：

≤(M+1)|ak|,

其中M是式(1)中的正常数。对k进行从n/2到n的累加，可以得到：

因此，

引理1证毕。

给定一实数列{an}，令n1=1，对所有k≥2，记：

nk=min{n>nk-1:anank-1<0},

当n充分大时，若数列{an}保号，则自然数列{nk}的子列只有有限多个元素，这是平凡的情形，已经有结论成立[4]。不失一般性，可以假定{nk}是无限自然数子列。由以上的定义，易知数列{an}在每个集合

Sk:={nk,nk+1,…,nk+1-1}

(2)

中的符号是一致的。

记

(3)

U=U(M0)={Sk:|Sk|>M0nk,k=1,2,…}，

其中|Sk|表示Sk元素中的个数。并记：

U+=∪ {Sk∈U:ank>0},

U-=∪ {Sk∈U:ank<0}.

同样，定义

同时，记aμj,k，使其满足：

λn+1-λn=O(λn-λn-1),n=1,2,…

(4)

由引理1与(2)，对任意固定的k，易知:

即：

(5)

又因为：

结合(5)易知：

将k=1到N累计加起来，不难得出：

因此，