有名辉

(浙江机电职业技术学院数学教研室，杭州 310053)



一个Hilbert型积分不等式的推广

有名辉

(浙江机电职业技术学院数学教研室，杭州 310053)

通过引进参数，借助实分析的技巧，建立了一个新的具有最佳常数因子的Hilbert型积分不等式，并考虑其等价形式，推广了相关文献的结果。

Hilbert型不等式；等价形式；Hölder不等式；Riemann Zeta 函数；Gamma函数

0　引　言

(1)

其中π2是满足(1)式的最佳常数因子[1]。不等式(1)通常被称为Hilbert型不等式。Hilbert型不等式在分析学领域有着重要的作用[2]。近来，通过引进参数，研究者们给出了式(1)及其对应的级数形式的一些推广和改进，建立了一些深刻且有价值的成果[3-8]。最近，和炳[9]又证明了一个类似于(1)式的零齐次核Hilbert型不等式，即：

(2)

本文研究的目的是建立式(2)的推广形式。首先给出以下一些定义及引理。

定义1[10]对于a>0，定义

为第二型欧拉积分，即Γ函数。特别地，当a∈Z+时，Γ(a)=(a-1)!。

为行文方便，作以下约定：

1　主要结果

引理1设λ>0,β≥0,则：

因此，

(3)

(4)

结合式(3)和式(4)，可得：

(5)

若β=0，显然有：

(6)

故有：

因此，当β>0时，有：

(7)

结合式(5)—(7)，即得引理1。

证明作变量替换y=ux，由Fubini定理，可知：

(8)

令ε→0+，由引理1，可得：

(9)

由式(8)和式(9)，即得引理2。

(10)

证明由Hölder不等式，可知：

(11)

若式(11)取等号，则有不全为零的实数A与B,使得：

a.e.于(0,∞)×(0,∞)(参见[11])，即Axpfp(x)=Byqgq(y)a.e.于(0,∞)×(0,∞)。

于是，有常数C，使得：

Axpfp(x)=C,a.e.于(0,∞)；

Byqgq(y)=C,a.e.于(0,∞).

通过变量替换，根据引理1,不难算得：

类似地，可算得：

因此式(11)可写成:

(12)

定义函数fε(x)和gε(x)(其中ε充分小)如下：

若x∈(0,1)，令

fε(x)=gε(x)=0；

若x∈[1,∞)，令

用fε和gε分别取代式(12)中的f和g，则：

把引理2的结果代入，可得：

(13)

(14)

故：

(15)

结合定理2 的条件和式(15)可知应用定理1的条件是充分的。因此式(14)和式(15)都取严格不等号。故式(13)成立。

以上从式(10)证得了式(13)。要说明……