王　慧，王伟平

(浙江理工大学理学院，杭州 310018)



关于两个(p,q)型Fibonacci多项式乘积的研究

王慧，王伟平

(浙江理工大学理学院，杭州 310018)

利用组合数学的方法研究了两个(p,q)型Fibonacci多项式的乘积满足的恒等式、递推关系及生成函数，建立了两个(p,q)型Fibonacci多项式的乘积之和满足的递推关系及显式表达式，推广了Falcon的结论。此外，通过将所得的关于(p,q)型Fibonacci多项式序列的一般性结果应用到经典的Fibonacci多项式及Chebyshev多项式上，得到了很多新的组合恒等式。

(p,q)型Fibonacci多项式；(p,q)型Lucas多项式；生成函数；递推关系；组合恒等式

0　引　言

在组合数学中，很多特殊的组合序列都可以通过二阶的递推关系定义，例如Fibonacci数、Lucas数、Pell数、Fibonacci多项式、Lucas多项式等。这些序列在组合数学、数论、数值分析等学科中都有重要的应用。

定义(p,q)型Fibonacci多项式序列(un(x))和(p,q)型Lucas多项式序列(vn(x))为：

u0(x)=0，u1(x)=1，un(x)

=p(x)un-1(x)+q(x)un-2(x)，(n≥2)，

v0(x)=2，v1(x)=p(x)，vn(x)

=p(x)vn-1(x)+q(x)vn-2(x)，(n≥2).

很多特殊的多项式序列都是(p,q)型Fibonacci多项式序列以及(p,q)型Lucas多项式序列的特例(见表1)[1-4]。此外，若p(x)与q(x)都取非零实数，就得到著名的Lucas序列。例如，Fibonacci数、Lucas数等构成的二阶递推序列都是特殊的Lucas序列。

表1　 特殊的(p,q)型Fibonacci多项式和

由定义可以得到(p,q)型Fibonacci多项式序列(un(x))以及(p,q)型Lucas多项式序列(vn(x))的前几项：

u0(x)=0，u1(x)=1，u2(x)=p，

u3(x)=p2+q，u4(x)=p3+2pq，

v0(x)=2，v1(x)=p，v2(x)=p2+2q，

v3(x)=p3+3pq，v4(x)=p4+4p2q+2q2，

为简洁起见，本文将多项式p(x)简写成p, q(x)简写成q。如果令α和β为特征方程t2-pt-q=0的根，则：

且α+β=p, αβ=-q，利用特征根α和β可以给出(un(x))和(vn(x))满足的Binet公式：

近年来，有关(p,q)型Fibonacci多项式序列和(p,q)型Lucas多项式序列的研究很多。例如：Lee等[1]研究了这些序列的一些基本性质及相关的矩阵；Wang[2]研究了这些序列满足的组合恒等式；He等[3]研究了更一般形式的满足二阶线性递推关系的数列与多项式序列，并且利用这些序列研究了某些代数方程和常微分方程的解的问题。……