●邓真峥

(四川师范大学数学与软件科学学院　四川成都　610068)

●邓建华

(广罗乡小学校　四川广安　638309)

●郑　江

(成都七中嘉祥外国语学校　四川成都　610068)



由椭圆的一个最值问题引发的探究*

●邓真峥

(四川师范大学数学与软件科学学院四川成都610068)

●邓建华

(广罗乡小学校四川广安638309)

●郑江

(成都七中嘉祥外国语学校四川成都610068)

圆锥曲线在历年高考中占有重要地位，其中最值问题几乎是高考的必考点.圆锥曲线问题的难点在于:几何关系错综复杂以及运算烦琐.在椭圆的一个最值问题的解答过程中，发现其中隐藏着某些可推广的结论.因此，文章在猜想的基础上进行验证，得出了3个一般性的推论.

椭圆；圆锥曲线；最值问题

1　原问题

图1

分析由于点A,C确定，故直线AC确定.要求四边形ABCD的最大面积，即求点B,D到直线AC的距离d1,d2之和最大值.

解法1(几何法)由A(5,0)，C(0,4),知

设与AC平行的直线l方程为

当l与椭圆相切时，即为所求.联立

整理得

32x2-40mx+25m2-300=0.

由Δ=0，得1 600m2-4·32·(25m2-300)=0，

得

此时

解法2(参数法)由A(5,0)，C(0,4),知

从而当四边形ABCD面积最大时，点B,D到直线AC的距离d1,d2之和最大.

此时

2　推广

得

2b2x2-2abtx+a2(t2-b2)=0,

从而

解得

故

评注此推广用参数法也可证明，这里不作详细证明.

证明不妨设A(x1,y1)，B(x2,y2)，kAC=k,设与AC平行的直线l:y=kx+m.只要AC的位置确定，则|AC|确定，要求四边形ABCD的最大面积，即求点B,D到直线AC距离d1,d2之和的最大值.联立

得

(a2k2+b2)x2+2ka2mx+a2(m2-b2)=0.

从而

图2

(2015年天津市天津一中高三月考改编)

证明设A(x1,y1)，B(x2,y2),不妨设x1>0，x2>0，kAC=k.因为

联立

得

于是

根据椭圆图形的对称性知：OA=OC,OB=OD，从而

4·|OA|2·|OB|2(1-cos2∠AOB)=

故

*收文日期：2016-04-20；2016-06-01

邓真峥(1995-)，女，四川岳池人，硕士研究生.研究方向：数学史与数学教育.

O123.1

A

1003-6407(2016)08-29-03