●盛耀建

(湖州中学　浙江湖州　313000)



一个问题的探究过程*

——例谈高中数学知识拓展类选修课程素材的选取

●盛耀建

(湖州中学浙江湖州313000)

文章从一个简单的问题出发，步步深入，通过对问题的挖掘、探究和拓展，展示了一个问题完整的研究过程，形成一节知识拓展类选修课的教案，从一个新的角度认识现阶段高中数学知识拓展类选修课素材的选取.

探究;知识拓展类;选修课;素材

在现阶段全国上下大力推进深化普通高中课程改革的大背景下，学校日常教学工作中开设选修课成为了流行与必然.浙江省高中课改方案中选修课程分为知识拓展、职业技能、兴趣特长、社会实践这4类，然而改革伊始，部分任课教师对待选修课因苦于没有内容可上而一筹莫展，为了正视这一问题，笔者以自己设计的一节知识拓展类选修课为例，以此“抛砖”，并希望能影响同仁对知识拓展类选修课素材选取的认识，从而起到“引玉”的作用.

1　背景例题

妙解由椭圆的对称性，结合图像和条件可知l1和l2关于y轴对称，则可设直线l1的方程为：

y=x+h.

3x2+4hx+2h2-2=0.

由l1与E只有1个交点，可得

Δ=6-2h2=0，

解得

2　变式探究

分析此题仅将例题条件中的“过点H(0,h)(其中h>1)”改为“过点H(1,h)(其中h>1)”，但立马发现上述“妙解”失效，无法解决本题，故寻求该类题型的通法.

通法由条件l1⊥l2，可设

l1：y=kx+h-k，

(1+2k2)x2+4(kh-k2)x+2(h-k)2-2=0，

由Δ=0，化简可得

(1)

同理可得(因为l2与l1的方程形式有对应关系，所以可直接推得)

(2)

3　深层探究

3.1特殊位置

图1 图2

y-y0=k(x-x0)，

即

y=kx+y0-kx0.

代入椭圆方程，整理得(b2+a2k2)x2+2k(y0-kx0)a2x+

(y0-kx0)2a2-a2b2=0,

由Δ=0知

从而

图3　　　　　　　　　　图4

故l1⊥l2.

当点P位于(a,b)，(-a,b)，(a,-b)，(-a,-b)处时，显然l1⊥l2.

解法1解析法

如图4，设P(x0,y0)，设l1:y-y0=k(x-x0)，即y=kx+y0-kx0,代入椭圆方程，整理得

(3)

(4)

图5

解法2几何法

4　外延探究

4.2拓展延伸已知圆x2+y2=r2，则此圆的所有夹角为θ(其中θ≠90°)的切线的交点轨迹为以原点为圆心、分

(提示：不是2个圆.)

设计反思 笔者在设计本节知识拓展类选修课的过程中同时作了如下反思：

1)知识拓展类选修课可以从抓住学生日常学习中的一个简单数学问题出发进行变形，逐步展开，并深入探究，最后得到一些一般性的结论.

2)在内容的选取上，知识拓展类选修课并不一定要求教师讲解未曾被发掘的新观点、新结论，而仅需遵循知识拓展类选修课属性的这一原则，即所涉及的知识点在高考范围内，学生能够听懂，但又不是高中数学教学中的必讲内容.

3)知识拓展类选修课可采用不同于日常的教学方式，如笔者设计的整节课均在探究的过程中开展，从一个简单的例题出发，层层递进，犹如福尔摩斯破案一般，既满足了学生对内容本身的好奇心，同时也增加了学生的见识，从侧面进一步巩固了学生对椭圆知识的掌握，认识了椭圆的一个新性质，有助于常规课中数学的学习.

*收文日期：2016-04-08；2016-05-15

盛耀建(1982-)，男，浙江湖州人，中学一级教师.研究方向：数学教育.

O123.1

A

1003-6407(2016)08-04-03