平面向量基本定理的教学困境和应对策略*

2016-09-06邓城

中学教研(数学) 2016年8期

关键词：定理平面向量

●邓　城

(增城中学　广东广州　511300)

平面向量基本定理的教学困境和应对策略*

●邓城

(增城中学广东广州511300)

通过教学中的习题测评发现学生在“平面向量基本定理”的理解和应用上存在较大问题，经过对教材中向量知识编排结构的梳理和对学生认识规律的把握，提出了突破平面向量基本定理的教学难点的教学策略.

平面向量基本定理；基底；转化；迁移

1　问题的提出

平面向量基本定理说明了平面中的任一向量都可以用2个不共线的向量线性表示，定理的形式化表达展现了数学的严谨性和逻辑性，它的出现也使得向量能够真正地作为一种工具来准确描述现实世界中的“量”.可见，高中数学必修4的“平面向量”这一章节的核心内容就是“平面向量的基本定理”[1]，它为整个向量的内容起到承前启后的作用.平面向量基本定理本身的确是容易理解的，但是否意味着学生都能很好地掌握呢？笔者选取了一组题目考查学生的掌握情况.

图1 图2 图3

通过学生的作业反馈发现:第1)小题绝大多数学生都能做对，第2)小题也只有小部分学生做错，但第3)小题只有不到一半的学生做对，第4)小题和第5)小题做对的更是寥寥无几.

2　对教学时间和安排的反思

学生对平面向量基本定理的掌握情况不好，是否是因为教学用时不够?单就“平面向量的基本定理”这一课程内容来说，只需要1个课时就足够了，但其反映的思想和要求以及学生获得的能力却不是一蹴而就的，学生对它的掌握需要一个循序渐进、螺旋上升的过程.由于高一第2学期要上完《数学4》和《数学5》，教学时间紧，有些教师为了赶进度，再加上简单地认为平面向量基本定理够“简单”，一个课时就搞定“平面向量的基本定理”和“平面向量的正交分解及坐标表示”(甚至更多内容)，课堂教学中对平面向量基本定理的产生缺乏足够的举例铺垫，和盘托出结论，举1～2个例题就算完成教学任务了.像这样的教学“快餐”学生自然是消化不良的，一碰到难题就不知所措了.如此缩短课时固不可取，但是延长时间在那里“磨”也是不切实际的.

稍微熟悉教材就可以发现:平面向量基本定理在“向量数乘运算及其几何意义”中已经涉及到，例如课本上的例7就要求用a，b表示某些向量，课后习题也有类似题目，只不过没有点明其中隐藏的平面向量基本定理.可以说它为“平面向量的基本定理”的自然出现作了铺设.而其后的“平面向量的数量积”中许多问题需要用到基本定理的应用.基于“平面向量的基本定理”承前启后的特点，笔者认为优化该内容的教学需要站在整个章节的角度通盘考虑，将平面向量基本定理的教学渗透到前后的内容中去.

3　突破平面向量基本定理的教学难点的教学策略：一明一暗2条线

明线是在“向量数乘运算及其几何意义”中培养学生对向量用2个不共线向量进行表示的方法，打好基础；在“平面向量的基本定理”中强化各种向量表示方法，形成能力；在“平面向量的数量积”中注意平面向量基本定理的迁移运用，完善思想.暗线是遵循“从特殊到一般，从一般再到特殊”的教学思路，让学生在特殊与一般之间体会转化与化归的数学思想.

3.1巧设铺垫，打好基础

在“向量数乘运算及其几何意义”中，可以在课本例7的基础上再设置几个向量分解的例题，如：

变式1若D为BC边上的三等分点(靠近点B)时如何表示？

变式2若D为BC边上的n等分点呢？

3.2典例训练，强化技能

通过前面特殊向量分解的铺垫，学生对“平面向量的基本定理”中任一向量的分解应该是非常清楚的，对定理的感性认识不成问题，困难在于落实到对复杂图形背景下向量的有效准确分解时，学生还不熟练，甚至心理上很没底.因此教师可以设置一些中等难度的向量分解题型，强化一般向量分解的训练，当然更重要的是对学生碰到问题时给予必要的引导，并重视问题解决后的反思总结.