杜翠真, 魏岳嵩

(淮北师范大学　数学科学学院， 安徽　淮北　235000)



方阵和的秩等于方阵秩的和的证法探讨

杜翠真, 魏岳嵩

(淮北师范大学数学科学学院， 安徽淮北235000)

对于矩阵A，BMn(P)，在r(A)=r(A2)，AB=BA=0的条件下，从三个方面证明了两矩阵和的秩等于矩阵秩的和的命题。

方阵；秩；若当标准形；基

1　预备知识及引理

矩阵的秩的概念是由Sylvester于1861年引进的，它是矩阵最重要的数字特征之一。文献[1-3]从重要不等式Sylveste定律(两个矩阵积的秩的不等式)和Frobenius不等式(三个矩阵积的秩的不等式)出发，给出了重要不等式取等号的一些充要条件，并推出了一些不等式。

文献[4]课后的补充题给出了下列结论：

1、设A为n阶矩阵，如果A2=A，那么r(A)+r(E-A)=n.

2、设A为n阶矩阵，如果A2=E，那么r(A+E)+r(A-E)=n.

说明如果矩阵A满足一定的条件，那么矩阵和的秩等于矩阵秩的和。下面从r(A)=r(A2)和AB=BA=0出发，给出三种证法证明r(A+B)=r(A)+r(B).

(1)r(A)=r(A2)=r(A3)=….

(2)A的列(行)向量组和A2的列(行)向量组等价。

(3)在n维线性空间Pn上定义线性变换σ如下：

证明：(1)设J为A的若当标准形，存在可逆矩阵T，使得T-1AT=J，所以有T-1A2T=J2.由r(A)=r(A2)，可得r(J)=r(J2)，所以A的0特征值所对应的若当块都是1阶的。所以r(J)=r(J2)=r(J3)=…，故r(A)=r(A2)=r(A3)=… .

(2)设向量组α1，α2，…，αn；β1，β2…，βn依次为矩阵A和A2的列向量组，向量组αi1，αi2，…，αir，βj1，βj2，…，βjr，依次为矩阵A和A2的列向量组的极大线性无关组.因为A2=AA，所以A2的列向量组可由A的列向量组线性表示，那么βj1，βj2，…，βjr，可由αi1，αi2，…，αir，线性表示。所以存在r阶方阵M，使得

(βj1，βj2，…，βjr)=(αi1，αi2，…，αir)M.

因为向量组βj1，βj2，…，βjr和αi1，αi2，…，αir的秩都是r，所以r阶方阵M是可逆矩阵。有

(αi1，αi2，…，αir)=(βj1，βj2，…，βjr)M-1，

所以向量组α1，α2，…，αn可由向量组β1，β2，…，βn线性表示，所以A的列向量组和A2的列向量组等价。

同理可证A的行向量组和A2的行向量组等价。

(3)证明设α1，α2，…，αn-r为Kerσ的一组基，σβ1，σβ2，…，σβr，为Imσ的一组基，下面证明α1，α2，…，αn-r，σβ1，σβ2，…，σβr是Pn的一组基。……