卞国文

(江苏省扬中高级中学，212200)



一道三角形问题求解的不同视角

卞国文

(江苏省扬中高级中学，212200)

寻找解题思路的过程就是寻找题设条件与结论之间逻辑联系或转化轨迹的过程.在这个过程中,教师可帮助学生激活知识、检索知识、提取知识、组织知识,引导学生合作学习，分组探究，使解题与发展同行.下面以一道三角形问题为例展现从不同视角进行解题的实践与研究.

试题在∆ABC中,D为边AC上一点,AB=AD=4,AC=6,若∆ABC的外心恰在线段BD上,则BC=______.

分析本题看似一道简单的解三角形问题,但实际操作有很大困难,主要是找不到突破口,条件难以运用.

视角1几何法

小组1:如图1,设外心为P,AB,AC中点分别为M,N，则PM垂直平分AB,PN垂直平分AC，易知∆PMA∽∆PND.

设PD=x,不难求出ND=1,AM=2，

在∆PND中,NP2=PD2-ND2=x2-1，

则在∆PNA中,AP2=NP2+AN2,即

∆ABD中,

小组2:如图2,设外心为P,AB,AC中点分别为M,N，则PM垂直平分AB,PN垂直平分AC.

易知∆BMP∽∆DNP，则

所以BP=2DP.

过点A作AH⊥BD,垂足为H，

评析上面两种方法着眼于平面几何,利用外心的性质以及相似三角形性质求解.

视角2解析法

小组3:如图3，以AC的中点为原点,AC的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，则BD与y轴的交点为外心P.

易知A(-3,0),C(3,0),设P(0,t),B(x,y)，则

BC2=(x-3)2+y2；

AB2=(x+3)2+y2=16.

两式相减16-BC2=12x,即

BC2=16-12x.

过点P作AB的垂线,垂足为H，过点B作AC的垂线,垂足为E，易得∆BHP∽∆DOP.

∴EO=2,所以x=-2，

小组4:如图4，以BD中点为原点,BD的中垂线为y轴,点A在y轴上,建立平面直角坐标系.设B(-a,0),D(a,0),A(0,b),C(m,n)，

则a2+b2=16.

(a,-b)=2(m-a,n)，

设外心P(t,0)，则PM⊥AB，

kPM·kAB=-1，

同理，PN⊥CA，kPN·kCA=-1，

代入a2+b2=16，

解得a2=6,b2=10,

小组5:如图5，设∆ABC的外心为O,∠ABD=∠ADB=α,OB=r.

延长BD与圆O交点F,连CF, 则∠ABF=∠ACF=α.

过点O作AB的垂线ON,垂足为N,从而BN=2，

在∆CDF中,由正弦定理，知

由相交弦定理，知

AD·DC=BD·DF，

在课堂上,师生在与周围环境相互作用的过程中,自然探究,建构起……