肖帮东　黄　浩　徐　中

(华中科技大学机械科学与工程学院，湖北 武汉 430074)



基于Matlab和Pro/E的凸轮轮廓曲线设计及从动件运动学仿真

肖帮东黄浩徐中

(华中科技大学机械科学与工程学院，湖北 武汉 430074)

以实际工程项目中的直动滚子从动件盘形凸轮机构为例，根据设计要求建立凸轮轮廓曲线的数学模型，利用Matlab进行凸轮轮廓曲线的精确辅助设计以及从动件的运动仿真，将生成的凸轮轮廓线上点坐标导入Pro/E中，实现复杂凸轮的三维建模设计，为凸轮轮廓设计提供了一种简便精确的方法。

凸轮轮廓线；Matlab；辅助设计；Pro/E

凸轮机构是自动机械或自动控制装置中广泛应用的机构之一，是由凸轮、从动件推杆和机架组成的高副机构，与其他传动机构相比，凸轮机构具有结构紧凑、传动精度高、动力特性好、运动平稳等优点[1]。凸轮机构的设计，关键是获得精确的凸轮轮廓曲线来满足从动件各种预期的运动规律，以实现机械的自动化，而凸轮曲线特性优良与否直接影响到凸轮机构的效率、精度以及寿命[2]。

凸轮轮廓曲线的设计一般可分为图解法和解析法，其中图解法只适用于从动件运动规律较简单，对凸轮轮廓曲线精度要求不高的场合。解析法则可针对复杂的从动件运动规律建立相应的方程，精确地计算出轮廓线上各点的坐标，然后把凸轮的轮廓曲线精确地绘制出来。Matlab是一种科学计算软件，通过其强大的矩阵处理和绘图功能[3]，利用Matlab编程可进行凸轮机构的解析法设计，并对从动件的运动规律(位移、速度、加速度和轮廓线)进行仿真绘制，以达到凸轮轮廓线的精确设计。Pro/E具有强大的曲线建模功能[4-5]，若将二者相结合，利用Matlab生成的凸轮轮廓线上点的坐标，将其导入Pro/E中，即可容易地实现复杂凸轮的三维实体设计。

1　凸轮机构运动的几何关系

在进行凸轮机构设计时，首先要根据机构的工作要求、实际工况以及使用场合选定凸轮机构的类型，确定凸轮机构从动件的运动规律，在合理计算完凸轮的基圆半径等基本尺寸参数后，即可进行凸轮轮廓曲线的设计。为了采用数字化方法实现凸轮轮廓曲线的精确设计，需要进行凸轮运动几何关系模型的建立。

1.1凸轮轮廓曲线的解析法设计

用解析法设计凸轮的轮廓曲线，其基本方法就是根据从动件的运动规律和已知的机构参数，推演出凸轮轮廓线的方程式，并精确地计算出凸轮轮廓线上各点的坐标值[6]。但无论是采用图解法还是解析法，设计凸轮轮廓曲线方法的基本原理都是反转法，即给整个凸轮机构加上一个与凸轮转动角速度ω大小相等、方向相反的角速度-ω，不影响各构件之间的相对运动，根据相对运动原理，此时凸轮将固定不动，从动件一方面随其导路以-ω绕轴转动，另一方面又相对其导路按预定的运动规律移动，从动件在这种复合运动中，其尖顶始终与凸轮轮廓相接触，所以在此复合运动中，从动件尖顶的运动轨迹即为凸轮轮廓曲线。

如图1所示为偏置直动滚子从动件盘形凸轮机构示意图，将滚子中心B视为尖端从动件的尖端，则采用反转法求得的尖端从动件盘形凸轮机构轮廓为滚子从动件盘形凸轮机构凸轮的理论轮廓。设凸轮以等角速度ω逆时针回转，基圆半径为r0，滚子从动件右偏于凸轮转动轴心O，从动件要实现的运动规律为s=s(φ)。现以凸轮回转中心建立直角坐标系Oxy，当凸轮转过φ角时，滚子中心将外移s=s(φ)至点B′(x′,y′)，根据反转法，将B′绕原点O沿凸轮转动的反方向转过φ角，从动件滚子中心B所在位置就是凸轮理论廓线上的一点。根据绕坐标原点转动的构件上点运动前后的坐标关系，可得凸轮的轮廓坐标为

(1)

(2)

即

(3)

以上所得为凸轮滚子中心运动轨迹，即理论轮廓线η。以滚子半径rr为半径，作一系列的滚子圆，该圆簇的包络线即为滚子从动件盘形凸轮的实际轮廓线η′。理论轮廓线上点B处的法线斜率为

(4)

式中：dx/dφ、dy/dφ可由式(3)求得

(5)

故实际轮廓线上对应点的坐标可按式(6)计算，式中加减号用于分别求解滚子圆的内外包络线。

(6)

1.2基圆与压力角的设计

压力角α是表征凸轮机构受力情况的一个重要参数，而凸轮轮廓上不同点处的压力角各不相同的，凸轮尺寸的大小取决于凸轮基圆半径的大小，凸轮机构的压力角与基圆半径大小直接相关，因此设计时必须加以考虑。

当凸轮逆时针转动，从动件右偏时，压力角α、偏距e和基圆半径r0存在着如下关系：

(7)

为保证凸轮机构正常旋转，应使最大压力角αmax小于临界压力角αC，则有

(8)

由式(8)可知要确定最小的基圆半径，就要找到式右边的最大值[7]。

2　凸轮轮廓曲线的数学模型

凸轮的轮廓曲线是由推杆的运动规律来决定的，典型的凸轮轮廓曲线由4 部分组成，即推程、远休止、回程和近休止。针对实际工程项目中设计需要，需对物料输送过程采用凸轮机构实现，现提出该凸轮机构设计要求如下所述：

(1)凸轮运动过程严格无冲击力产生，传动平稳。

(2)凸轮外形直径不能超过450mm，额定转速为60r/min，逆时针方向转动。

(3)从动件推出行程为120mm，推出角度范围为0～180°。

(4)从动件的运动规律为推程快，回程慢。

进行从动件运动规律设计时，应从两方面考虑：一是从动件的速度幅值vmax要尽量小；二是从动件的加速度幅值αmax要尽量小，且无突变。结合表1，综合考虑该项目中从动件的实际工作情况，在此选用组合摆线运动规律。

表1　若干种从动件运动规律特性比较[1]

凸轮机构设计时也采用典型的4部分过程，按实际情况，该凸轮机构为直动滚子从动件盘形凸轮机构。根据组合摆线运动规律的特点，推程阶段和回程阶段过程加速度曲线由3段不同时期的正弦加速度曲线拼接而成，可避免刚性和柔性冲击。

凸轮机构要求中速重载，故设计从动件运动规律为：

(9)

(1)推程阶段从动件运动方程

位移运动方程：

(10)

速度运动方程：

(11)

加速度运动方程：

(12)

式中：Φ为推程运动角；φ为凸轮的回转角；h为从动件的升程；ω为凸轮的旋转角速度；s、v、a分别为凸轮转过φ角时从动件的位移、速度和加速度。

(2)远休止阶段从动件运动方程

远休止阶段凸轮旋转的角度为Φs，此时从动件静止不动，其位移仍为h，速度和加速度均为零。

(3)回程阶段从动件运动方程

位移运动方程：

(13)

速度运动方程：

加速度运动方程：

(15)

(4)近休止阶段从动件运动方程

近休止阶段凸轮旋转的角度为Φs′，此时从动件静止不动，其位移、速度和加速度都为零。

3　基于Matlab和Pro/E凸轮轮廓曲线的精确设计

Matlab软件是一种强大的数据处理软件，利用Matlab软件进行凸轮轮廓曲线的精确辅助设计以及从动件的运动仿真，可以大大减小由大量公式带来的计算工作量大的问题。为了实现凸轮的参数化设计，便于修改，使用Matlab编程时借用了M脚本文件编写函数，从而进行函数的调用。.m文件工作方式将要执行的命令直接采用Matlab命令编写，全部写在一个文本文件中，便于对程序的修改与维护，增强了程序的交互性。最后利用Matlab软件的绘图命令绘制凸轮机构的轮廓曲线和从动件的位移、速度、加速度曲线，其具体设计流程图如图2所示。

3.1基于Matlab的凸轮轮廓曲线程序设计

根据实际工程项目的需求，所设计的凸轮为直动滚子从动件盘形凸轮机构，其工作条件为中速重载，凸轮以等角速度ω=60r/min逆时针方向旋转，基圆半径r0=70mm，滚子半径rr=15mm，凸轮的推程运动角为120°，滚子按组合摆线运动规律上升到最远处，升程h=120mm；接着滚子不动，凸轮的远休止角为30°；凸轮的回程运动角为180°，滚子按组合摆线运动规律下降至最近处；最后滚子不动，凸轮的近休止角为30°。

根据从动件的运动规律，利用Matlab语言编写程序，以推程和远休止阶段为例(回程和近休止阶段同理)，见图3所示。

%设置基本参数符号：de1为推程运动角;de2为远休止角;de3为回程运动角;de4为近休止角;r0为基圆半径;h为升程;w为凸轮角速度；S为位移;V为速度;J为加速度;X为理论轮廓线上点的x轴坐标;Y为理论轮廓线上点的y轴坐标;Z为理论轮廓线上点的z轴坐标

function[X,Y,Z,S]=tl(de1,de2,de3,de4,r0,h,w)

%%升程阶段(位移-速度-加速度-点坐标)

%升程阶段1

A1=4*pi^2*h/((4+pi)*de1^2);

S0=r0;

D1=0:0.01:de1/8;

S1=A1*de1/(4*pi).*D1-A1*de1^2/(16*pi^2).*sin(4*pi/de1.*D1);

X1=sin(D1).*(S0+S1);

Y1=cos(D1).*(S0+S1);

Z1=0.*D1;

V1=A1*de1/(4*pi)*w-A1*de1/(4*pi)*w.*cos(4*pi/de1.*D1);

J1=A1*w^2.*sin(4*pi/de1.*D1);

%升程阶段2

D2=de1/8:0.01:7*de1/8;

S2=A1*de1^2/(2*pi^2)+A1*de1/(4*pi).*D2-9*A1*de1^2/(16*pi^2).*sin(4*pi/3/de1.*D2+pi/3);

X2=sin(D2).*(S0+S2);

Y2=cos(D2).*(S0+S2);

Z2=0.*D2;

V2=A1*de1/(4*pi)*w-3*A1*de1/(4*pi)*w.*cos(4*pi/3/de1.*D2+pi/3);

J2=A1*w^2.*sin(4*pi/3/de1.*D2+pi/3);

%升程阶段3

D3=7*de1/8:0.01:de1;

S3=A1*de1^2/pi^2+A1*de1/(4*pi).*D3-A1*de1^2/(16*pi^2).*sin(4*pi/de1.*D3);

X3=sin(D3).*(S0+S3);

Y3=cos(D3).*(S0+S3);

Z3=0.*D3;

V3=A1*de1/(4*pi)*w-A1*de1/(4*pi)*w.*cos(4*pi/de1.*D3);

J3=A1*w^2.*sin(4*pi/de1.*D3);

%%远休止阶段(位移-速度-加速度-点坐标)

D4=de1:0.01:de1+de2;

S4=h.*ones(1,size(D4,2));

X4=sin(D4).*(S0+S4);

Y4=cos(D4).*(S0+S4);

Z4=0.*D4;

V4=0.*ones(1,size(D4,2));

J4=0.*ones(1,size(D4,2));

按照上述程序，运行Matlab程序，调用该函数tl：

[X,Y,Z,S]=tl(2*pi/3，pi/6，pi，pi/6，0.07，0.12，2*pi)

绘制凸轮机构的轮廓曲线和从动件的位移、速度、加速度曲线，如图4所示。

根据设计要求，凸轮运动轨迹无冲击力产生，传动平稳，凸轮运动规律采用组合摆线形式进行设计运行过程中最大速度0.633 4m/s，最大加速度5.970 2m/s2。如果按照等加速等减速进行设计，起点、中间过渡和终点处加速度会出现跳跃，产生冲击，按这种运动规律设计，其最大速度和最大加速度按下式计算：

(16)

(17)

计算得最大速度0.72m/s，加速度4.32m/s2。结合实际运动，从动件部分惯量还是很大。因此设计时主要按照以下两个方面进行约束：从动件的速度幅值要尽量小；从动件的加速度幅值要尽量小，且无突变。所以权衡之下，选择组合摆线形式的运动，无冲击出现，满足设计要求。

3.2基于Pro/E的凸轮三维实体设计

为了提高凸轮轮廓曲线的设计精度和效率，前一节已根据凸轮旋转角度和凸轮与从动件接触点位移变化的关系式计算模拟得到了凸轮的理论轮廓线，而Pro/E可利用其强大的曲线建模功能，进行凸轮轮廓曲线的精确设计，最终完成凸轮的三维实体设计。

运行编制程序后，通过命令“savetl.iblS-ascii”将理论轮廓线上点的坐标保存并生成tl.ibl文件，将Matlab生成的“tl.ibl”文件在记事本中打开，然后再更改文件的开头，添加几行Pro/E可读取的关键字：open；arclength；beginsection；begincurve，如图5所示。

修改后的tl.ibl文件中保存了理论轮廓点的坐标，将其导入Pro/E中，即可生成光滑连续的轮廓曲线。具体步骤为：插入—模型基准—曲线—自文件，打开tl.ibl文件，则生成凸轮理论轮廓曲线，然后把理论轮廓曲线在该点的法线方向左右各偏离滚子半径距离rr=15mm，即得凸轮工作槽的轮廓曲线，然后通过拉伸生成凸轮基体，以曲线轮廓切除生成滚子工作的曲线槽，如图6所示。

4　结语

凸轮轮廓形状取决于从动杆的运动规律，复杂的运动形式使得凸轮轮廓线的设计变得极为困难，且精度难以达到实际要求。通过Matlab和Pro/E的结合应用，利用已有的理论曲线函数在Matlab中编程生成点的坐标，然后导入Pro/E软件中，生成具有光滑连续轮廓线的凸轮，从而提高了凸轮三维建模的效率，所建精确三维模型也为后续凸轮的虚拟装配、运动仿真及动力学分析、有限元分析和数控加工奠定了良好的基础。

[1]魏兵，喻全余. 机械原理.2版.武汉：华中科技大学出版社, 2011.

[2]方芳.基于SolidWorks的平面凸轮设计系统研究. 成都：西南交通大学, 2007.

[3]周建新，岂兴明.MATLAB从入门到精通. 2版.北京：人民邮电出版社, 2012.

[4]林清安. 完全精通Pro/ENGINEER零件设计基础入门. 北京：电子工业出版社, 2010.

[5]王东. 基于Pro/E关系式的凸轮轮廓曲线精确设计. 机械设计, 2010, 27(8):31-34.

[6]李霞, 刘本学, 张三川. 基于MATLAB软件的凸轮轮廓曲线设计及从动件运动学仿真. 中原工学院学报, 2012, 23(1):41-43,78.

[7]高超楼,张明成. 适用于凸轮机构数字化设计的基圆半径与偏距的分析. 机械研究与应用, 2008, 21(2):65-67,71.

(编辑谭弘颖)

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DesignofcamprofilecurveandkinematicssimulationbasedonMatlabandPro/E

XIAOBangdong,HUANGHao,XUZhong

(CollegeofMechanicalScienceandEngineering，HuazhongUniversityofScienceandTechnology，Wuhan430074,CHN)

Takingthestraightmovingrollerfollowerdiskshapedcammechanisminapracticalprojectasanexample,accordingtothedesignrequirement,weestablishedthemathematicalmodelofcamcontourcurveandutilizedMatlabtorealizecamprofilecurveofpreciseaideddesignandfollowermotionsimulation,camcontourpointcoordinatesgeneratedwereimportedtoPro/E,Eventually,werealizedthedesignofcomplicatedthree-dimensionalmodelingofthecam.Theprocessprovidesasimpleandaccuratemethodforthedesignofthecamprofile.

camprofile;Matlab;aideddesign;Pro/E

TP391

A

肖帮东，男，1991年生，研究生在读，主要研究方向为机电一体化和数控技术。

2014-11-13)

160212

*国家自然科学基金项目面上项目( 51175207)