张大鹏,薛　雯，朱秀丽，徐中海,

(1.东北电力大学 理学院,吉林 吉林 132011；2.东北电力大学 学报编辑部，吉林 吉林 132012)



一类二阶常微分方程初值问题解的性质的完全证明

张大鹏1,薛雯2，朱秀丽1，徐中海1,2

(1.东北电力大学 理学院,吉林 吉林 132011；2.东北电力大学 学报编辑部，吉林 吉林 132012)

在文献[1]的附录B中，研究了一类二阶常微分方程初值问题古典解的性质，并给出了相应的理论证明。作者认为该证明过程存在一些疏漏，鉴于其在文献[1]中的基础作用，本文给出其相应的完整证明。

二阶常微分方程；初值问题；有界

在文献[1]的附录B中，研究了如下问题

(BQ)

其中，M0>0， 0

(H1)g(t)≥0，在(-∝,0)∪(0,+∝)上光滑，在(0,+∝)上不增；

(H2)f(t)>0，在(-∝,0)∪(0,+∝)上光滑，在(0,+∝)严格递减；

文献[1]中给出如下引理：

引理B设(H1)-(H3)成立，u(t)∈C2([0,R(a)))是问题(BQ)的经典解，其中(0,R(a))是解的最大存在区间。则

(1)u(t)，u′(t)在(0,R(a))上严格递减；

(7)R(a)≥G(a)。

1　引理B的一个完整证明

解的存在性和光滑性可由文献[2]得到。

结论(1)的证明：

r0=R(a)的情形。显然(1)获证。

r0

不妨设r0>0是u′(t)从0开始的第一个极小值点。则存在r1≤r0u(r2)，g(u(r1))≤g(u(r2))，f(u(r1))

产生矛盾。因此r0=R(a)，则在(0,R(a))上u″(t)≤0，且u′(t)在(0,R(a))上严格递减。

结论(2)的证明：

结论(3)-结论(7)的证明同文献[1]。

2　几点说明

文献[1]中的证明有下面几点疏漏：

(1)r0的选取未作说明。事实上r0的选取应依照u′(t)的最大性严格单调区间长度，由于文献[1]中的疏漏，使得接下来的推理难以理解。

(2)即使把r0的选取理解为按u′(t)的最大性严格单调区间长度，文献[1]中的r1

(3)对选取r1、r2目的及选取条件未作任何说明，对反证法的结论未作任何解释，这使文章读起来晦涩难懂。

还需要指出的是，这个问题在文献[1]中的作用是基础性的，而且类似形式的问题在流体、特别是塑性流体的一些研究中起到一定的基础作用(见文献[3-12])，加之我们后面研究工作的需要，我们给出一个完整，顺畅的证明是必要的。