浙江省嘉兴市第一中学　(314500)

吴旻玲　沈新权



平面截圆锥(圆柱)的截口曲线
——对2015年浙江高考数学文科第7题的探究

浙江省嘉兴市第一中学(314500)

吴旻玲沈新权

一、试题呈现

图1

如图1，斜线段AB与平面α所成的角为60°，B为斜足，平面α上的动点P满足∠PAB=30°，则点P的轨迹是( ).

A．直线B．抛物线

C．椭圆D．双曲线的一支

二、试题解析

此题是2015年浙江省高考数学文科的第7题，主要考查圆锥曲线的定义，考查学生的空间想象能力．第一眼看到此题，感觉似曾相识，因为类似的问题曾在2008年浙江省高考数学理科试卷中出现过(见文后的试题链接)，但仔细思考以后我们就发现它们又是有差别的，2008年的试题考查的是用一个与圆柱的轴不垂直的平面去截圆柱所得的截口曲线的轨迹，而这个问题中的AP是以AB为轴的圆锥的母线，且母线与圆锥的轴的夹角为30°，要求的则是用一个平面α(直线AB与平面α所成的角为60°)去截此圆锥所得的截口曲线的轨迹．命题看似俗套却又不乏新颖，而且试题的命题背景源于教材．人教A版选修2-1第二章《圆锥曲线》的章头引言里有这样一句话：“用一个不垂直于圆锥的轴和平面截圆锥，当截面与圆锥的夹角不同时，可以得到不同的截口曲线，它们分别是椭圆、双曲线、抛物线．”因此，此题的答案可能是椭圆，也可能是双曲线、抛物线，对大多数考生来讲，它是一道“熟悉的陌生题”，是一道既能够考查学生用几何知识求点的轨迹的能力的试题，也能够考查学生用代数(向量)方法来……