张丽



整式乘法和因式分解试题选粹

张丽

乘法公式和因式分解是“整式乘法”这一章中重要的内容，是我们解决数学问题的重要工具，对培养创新思维、观察分析能力和解题能力等，都是大有帮助的.现介绍一些典型试题，供大家学习参考.

一、利用公式结构特点解决常见问题

完全平方公式的特点是：左边是两个数的和（或差）的平方，右边为这两个数的平方的和与这两个数的积的2倍的和（或差），可表述为：（甲+乙）2=甲2+2×甲×乙+乙2；（甲-乙）2=甲2-2×甲×乙+乙2.平方差公式的特点是：左边是两个二项式相乘，且这两个二项式中一项完全相同，一项互为相反数，右边的结果为相同项的平方减去相反数项的平方，可表述为：（甲+乙）（甲-乙）= 甲2-乙2.

例1计算：

（1）（-2x-3y）（-2x+3y）；

（2）（-2x-3y）（2x-3y）；

（3）（-2x-3y）2；

（4）（-2x+3y）2.

【分析】（1）（2）的两个括号中中各有一个完全相同的项和一个相反数的项，符合平方差结构特点；（3）（4）虽符合完全平方公式的特点，但却没有公式简洁清爽，可以利用“互为相反数的两数平方相等”进行恒等变形.

解：（1）原式=（-2x）2-（3y）2=4x2-9y2；

（2）原式=（-3y）2-（2x）2=9y2-4x2；

（3）原式=（2x+3y）2=（2x）2+2×2x×3y+ （3y）2=4x2+12xy+9y2；

（4）方法一：

方法二：

【点拨】此类问题要求我们除注意公式的结构特点外，还要注意式子中符号的处理.

二、适当变式、延展，整合知识、归纳方法

例2（苏科版教材七下第78页例题5第（1）题）

计算：（x-3）（x+3）（x2+9）.

【分析】这是一道计算题，两次运用平方差公式.

变式1 计算：（x-1）（x+1）（x2+1）（x4+ 1）（x8+1）…（x64+1）.

【分析】本题把上题的“3”变成“1”主要是便于表达计算结果，再增加了几个因式.经观察，发现规律，由（x-1）（x+1）得（x2-1），再由（x2-1）（x2+1）得（x2）2-（1）2，即（x4-1）…根据最后一个因式（x64+1）得结果为（x64）2-12.

变式2 计算：（x-1）（x+1）（x2+1）（x4+ 1）…（x2n+1）.

【分析】把最后一个因式中x的指数由……