◇ 山东 彭庆柳张兆生

用导数研究函数的单调性

◇ 山东 彭庆柳1张兆生2

用导数求函数的单调区间或判断函数的单调性问题是本章的重点.解题时应注意如下几方面:

1)在利用导数讨论函数的单调区间时,首先要确定函数的定义域;

2)不能随意将函数的2个独立的单调递增(或递减)区间写成并集形式;

3)利用导数解决含参函数的单调性问题时,一般将其转化为不等式恒成立问题,解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用.

下面就具体题型进行剖析,希望对大家有所帮助.

1 利用函数的单调性比较大小

例1 定义域为R的函数f(x)对任意x都有f(2＋x)＝f(2－x),其导函数f′(x)满足则当2＜a＜4,有( ).

A f(2a)＜f(log2a)＜f(2);

B f(log2a)＜f(2)＜f(2a);

C f(2a)＜f(2)＜f(log2a);

D f(log2a)＜f(2a)＜f(2)

先根据条件求出函数的对称轴,再求出函数的单调区间,然后判定2、log2a、2a的大小关系,根据单调性比较f(2)、f(log2a)、f(2a)的大小即可.因为函数f(x)对任意x都有f(2＋x)＝f(2－x),所以函数f(x)的对称轴为x＝2.因为导函数f′(x)满足所以函数f(x)在(2,＋∞)上单调递减,(－∞,2)上单调递增.因为2＜a＜4,所以1＜log2a＜2＜4＜2a.又函数f(x)的对称轴为x＝2,所以f(2)＞f(log2a)＞f(2a),故选A.

本题主要考查了导数的运算,以及奇、偶函数图象的对称性和比较大小.根据导函数的符号确定函数的单调区间是解决此题的关键.最后利用函数的单调性比较函数值的大小,属于基础题.

2 借助导数研究不等式问题

由题意,要使对∀x1∈(0,2],∃x2∈[1,2],使得f(x1)≥g(x2)成立,只需fmin(x1)≥gmin(x2),且x1∈(0,2],x2∈[1,2],然后利用导数研究2个函数的最值即可.

易知当x∈(0,1)时,f′(x)＜0,当x∈(1,2)时, f′(x)＞0,所以f(x)在(0,1)上递减,在[1,2]上递增,故fmin(x)＝f(1)＝1/2.

对于二次函数g(x)＝－x2－2ax＋4,该函数开口向下,在区间[1,2]上的最小值在端点处取得,所以要使对∀x1∈(0,2],∃x2∈[1,2],使得f(x1)≥g(x2)成立,只需fmin(x1)≥gmin(x2),即……