◇ 江苏 顾天荣

曲线有共交点情境中定点问题的探究

◇ 江苏 顾天荣

在圆锥曲线问题中常常设置这样一类问题情境:直线与一种曲线有2个交点,而这2个交点恰恰又在另一个动曲线的轨迹上,问这个动曲线是否过定点.对于这类问题如何处理、有何策略,值得深思和探索.

1 兴趣引起:一道质量检测引发的思考

一次质量检测过程中笔者发现在一种曲线共交点问题情境下定点问题解决的过程比较烦琐,于是激发了笔者对这类问题求解规律的寻找.

例1 椭圆O的中心在原点,长轴在x轴,右顶点A(2,0)到右焦点的距离与它到左准线的距离之比为不过点A的动直线交椭圆O于P、Q2点.

(1)求椭圆的标准方程;

(2)证明P、Q2点的横坐标的平方和为定值;

(3)过点A、P、Q的动圆C,已知动圆过A、B2定点,求点B坐标.

(1)椭圆方程为x2＋4y2＝4.

(2)略.

(3)解题关键在于能够写出动圆C的方程,在圆心和半径不明确或不易用参数表示时,常会选择圆的一般方程,因此可设动圆C的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0,如何求解D、E、F是本题的难点.经过分析其实不难发现这个问题的突破口:椭圆和动圆C同时过P、Q2点,而P、Q在直线上,联想到直线与曲线交点问题的求法(将直线与二次曲线联立方程组,化为一元二次方程求解),因此,把椭圆和直线联立、把动圆和直线联立化简后的一元二次方程对应系数成比例.

将椭圆与直线联立得x2＋2mx＋2m2－2＝0.

将圆与直线联立得

上述2方程同解,对应系数成比例,即

由式①得E＝3m－2D,又点A在圆上,所以F＝－2D－4,将此2式代入式②可得

2 追根溯源:寻找这类问题高……

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