◇ 江苏 毛 群

一类与奇、偶项讨论相关的数列问题探讨

◇ 江苏 毛 群

数列作为一类特殊的函数,与连续函数不同,因为其离散性可能会出现跳变现象,即数列中元素的值随着项数的变化忽正忽负,进而呈现出一种独特的规律.有一类与数列奇、偶项有关的问题,特别受到各种调研考试命题人的青睐,被呈现在广大学子的面前.因此有必要对这类问题进行梳理,觅得其中的规律,以帮助学生理清这类问题的本质.

1 起源:一道练习题引发的兴趣

能够激发数学研究兴趣的问题,并不一定是某次调研考试的压轴大题,或许在不经意间遇到的一道小题也能点燃我们思维的火花.本文的研究主题恰恰就是源自于一道不起眼的填空题.

例1 12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2的值为________.

表面看本题的结论应当是一个关于n的表达式,但问题是当n取不同的值时最后一项呈现出的正、负不同.再仔细审题,可以发现表达式中各项实则为对应自然数的平方,而其系数呈现出正、负交替的规律.结合这一特点,从数列的视角本题可以看成某数列的前n项求和.不妨设数列为{an},则其通项为an＝(－1)n＋1n2,当n取奇数时an为正,当n取偶数时,an为负.因此可以断定本题应对n的取值为奇或偶进行讨论,结论写分段形式.

当n为偶数时,原式为

当n为奇数时,则n－1为偶数,原式为

反思:解决这个问题的关键是学生在头脑中应当清醒地认识到这是一个数列问题,应当以数列的视角来考虑它.

对于例1,其中有很多地方值得我们深……