◇ 北京 丁益祥(特级教师)

例析自主定义型问题的求解

◇ 北京 丁益祥(特级教师)

自主定义型问题是指根据问题的设计需要,人为地定义某个概念、某种运算、某条规则等等,并要求按照这些自主定义的概念、运算、规则处理的问题.因此,读懂并理解这些概念、运算、规则的定义,对于解决这类问题起着至关重要的作用.

1 自主定义新概念问题

例1 设S为复数集C的非空子集,若对任意x、y∈S,都有x＋y,x－y,xy∈S,则称S为封闭集.现给出下列命题:

①集合S＝{a＋bi|a、b为整数,i为虚数单位}为封闭集;

②若S为封闭集,则一定有0∈S;

③封闭集一定是无限集;

④若S为封闭集,则满足S⊆T⊆C的任意集合T也是封闭集

其中所有真命题的序号是________.

按照题目中给出的定义,如果复数集C的一个非空子集S是封闭集,那么,必须满足对于S中的任意2个数,它们的和、差、积仍是S中的数.因此,要完成题目中4个命题真假的判断,必须依据封闭集的概念,逐一审视.

对于命题①,∀x、y∈S,不妨设x＝a1＋b1i, y＝a2＋b2i,且a1、b1、a2、b2都是整数,则

由于a1、b1、a2、b2都是整数,所以a1±a2,b1± b2,a1a2－b1b2,a1b2＋a2b1都是整数,所以x＋y∈S,x－y∈S,xy∈S,因此①正确.

对于命题②,∀x、y∈S,由于S为封闭集,所以x－y∈S.取x＝y,得0∈S,因此②正确.

对于命题③,若集合S＝{0},显然S满足封闭集定义中的所有条件,所以S是封闭集.但S是有限集,因此③错误.

对于命题④,取S＝{0},T＝{0,1},满足S⊆ T⊆C.但由于0－1＝－1∉T,故T不是封闭集,因此④错误.

综上所述,真命题是①、②.

例2 设[x]表示不超过x的最大整数(如[2]＝2,[5/4]＝1),对于给定的n∈N∗,定义＝则当x∈ [3/2,3)时,函数的值域是________.

上述2个问题,都是自主定义新概念问题.例1自主定义了封闭集的概念.正确理解封闭集的意义,明确封闭集中元素的基本特征……