曹小辉　钟驹超

摘 要：连续函数是数学分析教材中的重要内容，其重点研究的是闭区间上连续函数的基本性质，如：有界性、介值性及一致连续性等；然而在实际的应用中我们更为常见的是连续函数性质在一般区间上的相关应用，因此本文试想将闭区间改成一般区间（开区间，半开半闭区间，无限区间）后再增加一些条件来使得闭区间上连续函数的一些性质得以保留.

关键词：函数的连续性 一般区间 推广

一、引言

一元连续函数性质是数学分析中微分学理论的一大基础，运用可谓是相当的广泛灵活。其中，连续函数在闭区间上的基本性质有：有界性、最大最小值、介值性、一致连续性等。在进行大量的题海中，发现连续函数的性质应用更为广泛的是开区间和无限区间上的运用，因此我们可依据闭区间上连续函数性质推广到开区间和无穷区间上连续性质的应用，使得连续函数的性质趋向一般性，更为方便灵活巧妙应用.本文主要证明了闭区间上连续性质推广到开区间和无限区间上，并用独特的方法对推广的性质进行了严格的证明，紧接着列举了一些相关典型的例题来加深我们对其的理解与掌握.我们知道开区间上的连续函数跟闭区间上的连续函数的根本差别在于，其左端点的右极限和右端点的左极限是否存在.在最值性、介值性和一致连续性定理的讨论中，我们特别强调闭区间条件所起的作用，而这些性质在开区间不成立的原因就在于端点处的极限不存在，所以我们可以通过加强开区间上连续函数的条件，使其相应的极限都存在，这样我们便可以像讨论闭区间上连续函数性质那样直接应用。……