赵 正 波

(渭南师范学院 数理学院,陕西 渭南 714099)



确界定义的几种等价形式

赵 正 波

(渭南师范学院 数理学院,陕西 渭南 714099)

摘要：给出了确界定义的一个新的定义形式，建立了确界的直观语言性定义和形式化定义之间的关系，指出了已有定义之间的等价关系。通过引入函数确界和多元函数的点趋于无穷时的极限概念和应用，把确界概念直接应用于函数最值的讨论。这个定义与代数中确界概念的定义也是相通的，加强了确界概念的普遍性和应用之间的关系。

关键词：确界；函数确界；极值；最值

确界概念是关于实数完备性的基本概念，在数学分析中有着广泛的应用[1-3]。但是确界概念和直观理解之间仍然缺乏有效的联系，为此我们针对概念的几种等价形式进行讨论，有助于对概念的直观理解和应用[4]，并且沟通其与现在相当广泛的偏序集上确界概念的联系和共性。我们按照概念的层次重新给出确界及其相关概念的定义，这些有助于我们把数学分析和高等数学中的有关界的概念统一起来。

1　实数集上确界的概念

有关实数、极限的概念及其性质等这里不再一一叙述，相关的概念可以参阅文献[1-2]。我们直接在实数集上建立界和确界的相关概念。先看实数集上界的定义。

定义1设S是非空实数集，M，L是实数，

(1)若S中所有的元素都小于或等于M，即∀x∈S，x≤M，则称M是S的上界；

(2)若S中所有的元素都大于或等于L，即∀x∈S，x≥L，则称L是S的下界；

(3)若S中有元素大于M，即∃x∈S，x>M，则称M不是S的上界；

(4)若S中有元素小于L，即∃x∈S，x

显然，上界和不是上界的概念是对立的并且是排中的，下界和不是下界的概念也是对立的并且是排中的。上界和下界统称为界。接下来我们给出实数集有界的概念。

定义2设S是非空实数集，

(1)若存在实数M是S的上界，即∃M∈R满足：∀x∈S，x≤M，则称S有上界；

(2)若存在实数L是S的下界，即∃L∈R满足：∀x∈S，x≥L，则称S有下界；

(3)若任何实数都不是S的上界，即对∀M，∃x∈S，x>M，则称S无上界；

(4)若任何实数都不是S的下界，即对∀L，∃x∈S，x

(6)若S无上界或者无下界，则称S无界。

从实数集S有上界的定义可以看出，若实数集S有上界，则S有无限多个上界；若实数集S有下界，则S有无限多个下界。并且有如下引理：

引理1[1]设S是非空实数集，若S有上界，则S有最小上界；若S有下界，则S有最大下界。

我们把S的最小上界称为S的上确界，把S的最大下界称为S的下确界。

定义3设S是非空实数集，

(1)若实数ξ满足两条：i)∀x∈S，x≤ξ；ii)若M是S的上界，则ξ≤M，则称ξ是S的上确界，记作ξ=supS；

(2)若实数η满足两条：i)∀x∈S，x≥η；ii)若L是S的下界，则L≤η，则称η是S的下确界，记作η=infS；

(3)若S无上界，则称S的上确界是+，记作supS=+；

(4)若S无下界，则称S的下确界是-，记作infS=-。

定义3′设S是非空实数集，

(1)若实数ξ满足两条：i)∀x∈S，x≤ξ；ii)若M<ξ，则存在x∈S使得x>M，则称ξ是S的上确界，记作ξ=supS；

(2)若实数η满足两条：i)∀x∈S，x≥η；ii)若L>η，则存在x∈S使得x

(3)若S无上界，则称S的上确界是+，记作supS=+；

(4)若S无下界，则称S的下确界是-，记作infS=-。

在应用中，常常把定义中的M写成ξ-ε，把定义中L写成η+ε，其中ε表示任何一个正数，常常理解为任意小的一个正数，可以对ε作适当限定。这样使得定义更加直观，因而也把定义写成如下形式。

定义3″设S是非空实数集，

(1)若实数ξ满足两条：i)∀x∈S，x≤ξ；ii)∀ε>0，存在x∈S使得x>ξ-ε，则称ξ是S的上确界，记作ξ=supS；

(2)若实数η满足两条：i)∀x∈S，x≥η；ii)∀ε>0，存在x∈S使得x<η+ε，则称η是S的下确界，记作η=infS；

(3)若S无上界，则称S的上确界是+，记作supS=+；

(4)若S无下界，则称S的下确界是-，记作infS=-。

定义3°设S是非空实数集，

上确界和下确界统称为确界。我们对上述4个定义中关于上确界定义的第二个条件之间的关系进行讨论。在定义3和定义3′之间，因为有“若M是S的上界，则ξ≤M”等价于逆否命题“若M<ξ，则M不是S的上界”，再由不是上界的概念等价于“若M<ξ，则存在x∈S使得x>M”，这就说明了定义3和定义3′的上确界的定义第二条是等价的，因而定义3和定义3′的上确界的定义是等价的。又由于任意小于ξ的实数M，总可以写成ξ减去某个正数ε，而ξ减去任意正数ε总可以用小于ξ的正数M来表示，所以定义3′和定义3″的上确界定义中第二条也是等价的，因而定义3′和定义3″中上确界的两个定义是等价的。只要把定义3″中的ε看成数列定义中的任意正数ε，定义3″和定义3°的上确界中关于上确界的第二条等价是显然的，因而定义3″和定义3°的上确界的定义是等价的，所以关于上确界的4个定义是等价的。同样可以证明下确界的4个定义是等价的。这就完成了4个定义等价的证明。应用中可选择4个定义之一直接引用。

关于确界的存在和有界的等价问题，在一般的高等数学和数学分析教材中都有引理1，我们不再论证，对于确界的概念首先遇到的是和最值概念之间的关系，而确界和最值的区别是其是否属于集合。

定理1设S为非空集，则

(1)supS=ξ∈S⟺ξ=maxS；

(2)infS=η∈S⟺η=minS。

由确界的概念与极限的概念的独立性可知，可以用其中一个概念去计算另外一个概念，给确界的判定和确界概念的应用带来极大方便。而定义3是直观性和数学本质之间联系的桥梁，也给我们把确界的概念推广到一般的偏序集上带来了方便。

2　实数集上确界的性质

由于极限的运算法则和确界的概念是独立的，利用确界和极限的关系，应用极限的四则运算和不等式的性质容易得到以下结论：

定理2设A，B为非空集，若∀x∈A和∀y∈B有x≤y，则supA≤infB。

推论1设A，B为非空集，且S=A∩B非空，则

(1)supS≥max{supA,supB}；

(2)infS≤min{infA,infB}。

定理3设A，B为非空集，S=A∪B，则

(1)supS=max{supA,supB}；

(2)infS=min{infA,infB}。

(1)supS-=-infS；

(2)infS-=-supS。

(1)sup(A+B)=supA+supB；

(2)inf(A+B)=infA+infB。

(1)sup(A·B)=supA·supB；

(2)inf(A·B)=infA·infB。

3　函数的确界及其应用

定理7设函数y=f(P)，P∈D，在D内有有限个极值点f(P1)，f(P2)，…，f(Pn)，边界点有相同的极限ξ，或无穷远处有相同的极限η，则

(1)supf(P)=max{f(P1),f(P2),…,f(Pn),ξ,η}；

(2)inff(P)=min{f(P1),f(P2),…,f(Pn),ξ,η}。

例1证明圆的所有外切三角形中，正三角形的面积最小。

例4(水箱设计问题)要设计一个容积为V的长方体开口水箱，试问水箱的长宽高各等于多少时，其表面积最小？

4　有序集上的确界

在一般的偏序集上，我们同样可以定义界和确界的相关概念。例如有界的定义如下[3]，其他的概念有类似的定义。

定义4设(P,≤)为偏序集，S⊂P是非空集，M,L∈P，

(1)若S中所有的元素都小于或等于M，即∀x∈S，x≤M，则称M是S的上界；

(2)若S中所有的元素都大于或等于L，即∀x∈S，x≥L，则称L是S的下界；

(3)若S中有元素大于M，即∃x∈S，有x>M，则称M不是S的上界；

(4)若S中有元素大L，即∃x∈S，有x

我们把定义3直接推广到偏序集上，这样就得到更一般的偏序集上确界的定义，这样的定义本质上是代数形式的定义。

定义5设(P,≤)为偏序集，S⊂P是非空集，ξ,η∈P，

(1)若ξ满足两条：i)∀x∈S，x≤ξ；ii)若M是S的上界，则ξ≤M，则称ξ是S的上确界，记作ξ=supS；

(2)若η满足两条：i)∀x∈S，x≥η；ii)若L是S的下界，则L≤η，则称η是S的下确界，记作η=infS。

5　结语

确界是数学中应用非常广泛的概念之一，我们还可以得到更强条件下确界的判定条件。但是作为等价形式把这个概念建立成统一的形式有着积极的意义，其他学科上的确界概念都是偏序集上确界概念的应用，我们把实数集的确界概念也归入这个形式，并且深化了它的应用。

参考文献:

[1] 华东师范大学数学系.数学分析[M].北京：高等教育出版社，2008.

[2] 刘三阳，李广民.数学分析十讲[M].北京：科学出版社，2011.

[3] 王国俊.数理逻辑引论与归结原理[M].第2版.北京：科学出版社，2006.

[4] 赵正波.函数的确界和应用[J].渭南师范学院学报，2015，30(22)：25-27．

【责任编辑牛怀岗】

中图分类号：O172.1

文献标志码：A

文章编号：1009-5128(2016)16-0024-05

收稿日期：2016-04-25

基金项目：渭南师范学院(省)扶持学科数学学科基金资助项目：模糊谓词演算系统的研究(14SXZD006)

作者简介：赵正波(1966—)，男，陕西渭南人，渭南师范学院数理学院讲师，理学硕士，主要从事非经典逻辑研究。

Supremum and Infimum and Its Equivalent Propositions

ZHAO Zheng-bo

(School of Mathematics and Physics, Weinan Normal University, Weinan 714099, China)

Abstract:It has introduced a new proposition of supremum and infimum, which gives the relation between intuition and formalization proposition. It has gotten out directly application on solving maximum and minimum of function by introducing supremum and infimum of function of multivariate function among extrema and limits as point P approaches infinity or borders which is not in domain. It has also given out extensive proposition of supremum and infimum on partially ordered set.

Key word:supremum and infimum; supremum and infimum of function; extrema; maximum and minimum

【自然科学基础理论研究】