赵 正 波

(渭南师范学院 数理学院,陕西 渭南 714099)



确界定义的几种等价形式

赵 正 波

(渭南师范学院 数理学院,陕西 渭南 714099)

摘要：给出了确界定义的一个新的定义形式，建立了确界的直观语言性定义和形式化定义之间的关系，指出了已有定义之间的等价关系。通过引入函数确界和多元函数的点趋于无穷时的极限概念和应用，把确界概念直接应用于函数最值的讨论。这个定义与代数中确界概念的定义也是相通的，加强了确界概念的普遍性和应用之间的关系。

关键词：确界；函数确界；极值；最值

确界概念是关于实数完备性的基本概念，在数学分析中有着广泛的应用[1-3]。但是确界概念和直观理解之间仍然缺乏有效的联系，为此我们针对概念的几种等价形式进行讨论，有助于对概念的直观理解和应用[4]，并且沟通其与现在相当广泛的偏序集上确界概念的联系和共性。我们按照概念的层次重新给出确界及其相关概念的定义，这些有助于我们把数学分析和高等数学中的有关界的概念统一起来。

1　实数集上确界的概念

有关实数、极限的概念及其性质等这里不再一一叙述，相关的概念可以参阅文献[1-2]。我们直接在实数集上建立界和确界的相关概念。先看实数集上界的定义。

定义1设S是非空实数集，M，L是实数，

(1)若S中所有的元素都小于或等于M，即∀x∈S，x≤M，则称M是S的上界；

(2)若S中所有的元素都大于或等于L，即∀x∈S，x≥L，则称L是S的下界；

(3)若S中有元素大于M，即∃x∈S，x>M，则称M不是S的上界；