韩　斐，杨洪耕，王佳兴，王　泽（四川大学电气信息学院，成都　610065）

变分贝叶斯独立分量分析在谐波状态估计中的应用

韩斐，杨洪耕，王佳兴，王泽
（四川大学电气信息学院，成都610065）

针对实际电网中谐波阻抗难以准确获取，且量测噪声不可避免的问题，提出利用变分贝叶斯独立分量分析VBICA（variational Bayesian independent component analysis）进行配网谐波状态估计。该方法将谐波阻抗和量测噪声作为未知参数，利用变分贝叶斯理论计算独立分量分析模型中未知参数和潜在谐波电流的后验概率分布，通过迭代学习提取不受噪声干扰的谐波电流最优值。再结合负荷等效导纳远小于系统等效导纳的特点，推导出幅值比例系数，计算谐波电流幅值。利用IEEE 33节点配网系统对该方法进行验证，并将该方法与传统独立分量分析法进行对比，结果表明该方法具有更高的估计精度和更强的抗干扰能力。

谐波状态估计；变分贝叶斯；独立分量分析；未知谐波阻抗；噪声干扰

DOI：10.3969/j.issn.1003-8930.2016.04.012

分布式发电的快速发展和非线性负载的大量增加，加重了配电网的谐波污染［1-2］。为有效治理谐波并节约成本，预先了解该地区电网的谐波分布和状态具有重要意义［3］。

谐波状态估计可根据有限节点的谐波量测估计全网谐波分布和状态，其最终目的是估计电网中谐波源位置和谐波电流幅值［4-7］。文献［3］首次提出谐波状态估计技术进行谐波源识别，并指出谐波源识别的判据。文献［5］利用电网中谐波源数量较少的特点，将节点分为可疑谐波源节点和非谐波源节点，利用有限量测量估计谐波状态。文献［6］利用加权最小二乘法求解量测方程，得到谐波状态最优解。文献［7］基于谐波源分布的空间稀疏性，利用稀疏表示法进行谐波状态估计。

谐波状态估计技术需要精确的谐波阻抗和网络拓扑，但由于电网运行受随机因素影响，以及元件参数的分散性［8］，精确的谐波阻抗和网络拓扑难以获取［9］，网络参数的缺失会严重影响估计精度。谐波阻抗和网络拓扑未知情况下，谐波状态估计可作为盲源分离问题，通过独立分量分析ICA（in⁃dependent component analysis）求解［10］。

ICA在电力系统已得到广泛应用［9-16］。在谐波分析方向，文献［9-11］忽略噪声干扰，采用复值ICA估计谐波电流，得到谐波电流实部和虚部变化曲线，但没有进一步估计谐波电流幅值。文献［12-13］利用ICA从电压量测信号中分离出谐波信号，实现了谐波源辨识。文献［14］采用含噪ICA进行谐波源定位，从量测数据协方差矩阵中减去噪声协方差矩阵，以消除噪声影响，但噪声大小通常是未知的，且没有确定谐波电流的幅值。

鉴于此，本文采用变分贝叶斯独立分量分析VBICA（variational Bayesian independent component analysis）估计谐波电流。将ICA模型中的噪声、阻抗参数等作为未知变量，将谐波电流作为隐藏变量，利用变分贝叶斯VB（variational Bayesian）对未知量的学习能力，得到不受噪声干扰的谐波电流最优解。并根据线性负荷导纳远小于系统侧导纳的特点，忽略线性负荷导纳，推导出谐波电流幅值比例系数，确定电流幅值。采用IEEE 33节点配电网络对该算法进行验证，结果表明该方法能够在含噪情况下准确估计谐波电流幅值，验证了该方法的有效性。

1　VBICA原理

存在噪声干扰的ICA数学模型为

式中：Xt为M维观测信号；A为M×N维混合矩阵；St为N维源信号；ε为M维零均值高斯噪声信号，t= 1，2，…，T为样本点数。

将该ICA模型运用于VB框架中，给出观测信号和未知参数的先验概率分布。观测信号X（t）的条件概率分布为

式中：Ω为高斯噪声协方差；det表示求矩阵行列式；exp表示以自然常数e为底的指数函数。观测矩阵X的条件概率分布为

源信号S后验概率分布计算式为

式中：W为某一具体模型，须选择符合源信号特性且易于计算的模型；p（S|X，W）为源信号S的后验概率；p（X|S，W）为观测信号X的后验概率；p（S|W）为信号源模型［17］；p（X|W）为规范因子，通常为模型W的边际概率。

由中心极限定理，ICA模型中的非高斯源信号混合后接近高斯分布，因此选用高斯混合MOG（mix⁃ture of Gaussians）模型表示源信号的概率分布，即

式中：ν为M维源信号S的参数，ν=［σ，e，α］；σ为混合比例系数；e和α分别为源信号矩阵中每个元素的期望值和精度；i为源信号编号；t为第i个源信号的第t个成分。

参数ν的先验概率分布为

式中：p（ν）定义为Dirichlets分布的乘积；p（σ）定义为混合比例系数的先验分布概率；p（e）和p（α）分别定义为高斯分布和Gammas分布的乘积。

ICA模型中混合矩阵A的先验分布定义为高斯分布的乘积，噪声协方差矩阵的先验分布定义为Gammas分布的乘积。

给定各参数和观测值的先验分布，采用变分近似逼近算法进行VBICA模型的学习。ICA模型中未知参数和潜在变量的后验概率分布计算式为

式中：θ=｛A，S，Ω，ν｝包括未知参数和潜在变量；p（θ |X，W）表示未知参数和潜在变量的后验概率分布；p（X|θ，W）表示观测信号的后验概率；p（θ|W）表示未知参数和潜在变量的概率。

以损失函数最小化，即负自由能最大化为目标函数：

式中：p′（W）表示模型W的先验概率的一阶导数；H（′（W）表示p′（W）的熵；p（X，θ|W）表示X和θ的联合分布概率。

忽略θ各成分间的弱相关性，p′（θ|ν）的计算式为

式中，p′（∙）表示括号内变量概率的一阶导数。

分别求p′（θ|ν）对各参数的偏导数，可得到未知参数的估计值。

由ICA模型中

式中，p（∙）表示括号内变量的先验概率。

将式（10）、（11）代入式（8），可得到源信号的近似后验概率分布为

类似可推导其他未知变量的后验分布，并迭代求解直至收敛。

2　VBICA在谐波状态估计中的应用

2.1ICA与谐波状态估计

含谐波源网络的某次谐波节点电压方程为

式中：h为谐波次数；Vh为节点谐波电压；Zh为节点阻抗矩阵；Ih为注入谐波电流。为简化起见，以下省略变量的下标h。

ICA要求源信号为统计独立的非高斯分布，利用平滑滤波器提取的谐波电流快波动分量之间具有较低的相关性，且为超高斯分布［10］，满足ICA的要求。平滑滤波器不改变变量间的关系，即

式中：上标f代表快波动分量；上标s代表慢波动分量。

由于电压电流相量及谐波阻抗均为复值，本文将复值ICA与VB结合来估计谐波电流。复值ICA的目标函数［18］为

式中：w为复数分离向量；上标H表示共轭转置；x为量测量；E为数学期望；G（y）=asinh y，表示独立分量的近似负熵；y为待提取的独立分量，y=wHx。

以量测节点的谐波电压Vm为量测量，以谐波源电流I为状态量，利用平滑滤波器提取量测量的快波动分量，建立量测方程为

利用VBICA仅能得到次序和幅值不确定的谐波电流。为准确估计谐波电流，须消除这种不确定性。

2.2消除不确定

确定谐波电流次序：将各支路的导纳值设为1，建立象征导纳矩阵［13］Ysym，求逆得到阻抗矩阵Zsym，将Zsym和混合矩阵A的各列分别进行归一化得到矩阵Znorm和Anorm，并按下式计算两个矩阵中匹配度最高的列，得到确定次序的谐波电流Iseq和混合矩阵Aseq。

式中，abs表示绝对值运算。

确定谐波电流幅值：设节点1为配电网的根节点，在根节点处配置量测装置，由此可得到根节点处系统短路电抗xk为

式中：h为谐波次数；V1m根节点电压量测量；S1为根节点所在电压等级对应的系统短路容量；j为虚数单位。

在公共连接点处，由于系统短路容量远大于负荷容量，线性负荷导纳远小于系统等效导纳，可忽略线性负荷导纳，得到近似的节点导纳矩阵为

式中：n为节点总数；Ypp），且Ypm=Ymp。

可证明对应阻抗矩阵Z的首行首列元素均为xk，且当Y（i，j）=0时，有

式中，（i，j）表示矩阵第i行、第j列元素。

通过比例系数矩阵d，恢复幅值计算式分别为

式中：Aamp为恢复幅值的混合矩阵；分别为恢复了幅值的谐波电流快波动分量和慢波动分量，将其与快波动分量相加即可得到谐波电流的实际值Iamp。

3　IEEE33节点配电网络验证

本文算法采用IEEE 33节点标准配电网络进行验证，配电网络如图1所示。

图1　IEEE 33节点配电网络Fig.1　IEEE 33-bus distribution network

在节点20和27处接入谐波源，谐波源地理和电气距离均相距较远，符合电网实际情况［19］。谐波电流采用5次谐波典型曲线［9］。在各电流曲线上添加均值为0，方差为0.002的拉普拉斯分布的随机变量，模拟注入电网的谐波电流。

在电压量测量上添加均值为0，方差为0.04的高斯白噪声，分别采用VBICA算法和传统ICA算法估计谐波电流，并按本文方法恢复谐波电流的次序和幅值，估计结果如图2所示。由图2可看出，在噪声干扰情况下，传统ICA的估计结果与真实电流曲线差别较大，而VBICA可有效估计谐波电流，得到准确的谐波电流变化曲线。

图2　5次谐波电流估计结果Fig.2　Estimated results of the 5thharmonic current

工程中常用平均值和95%概率值表征谐波电流的大小，表1给出了谐波电流统计值。由误差分析结果可看出，相比于传统ICA算法，VBICA算法极大的降低了估计误差，验证了VBICA算法的有效性。

表1　5次谐波电流统计值Tab.1　Statistical values of the 5thharmonic current

4　结语

传统独立分量分析算法的估计结果受噪声影响较大，本文采用变分贝叶斯独立分量分析进行配电网谐波状态估计，利用变分贝叶斯理论计算独立分量分析模型中的未知参数和潜在变量的后验概率分布，可直接将谐波电流从含噪声干扰的量测量中提取出来。再结合负荷侧等效导纳远小于系统侧等效导纳的特点，计算谐波电流的幅值。通过IEEE 33节点配网的仿真结果表明，该算法优于传统独立分量分析算法，尤其在受到较大噪声干扰的情况下，该算法估计误差明显低于传统算法，可准确得到谐波电流的波动情况以及统计值，具有重要的工程应用价值。

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Harmonic State Estimation Based on Variational Bayesian Independent Component Analysis

HAN Fei，YANG Honggeng，WANG Jiaxing，WANG Ze
（School of Electrical Engineering and Information，Sichuan University，Chengdu 610065，China）

In order to solve the problems that the harmonic impedance is difficult to be obtained accurately，and the measurement noise is unavoidable in practical power system，a harmonic state estimation method based on variational bayesian independent component analysis（VBICA）is proposed.Regarding the harmonic impedance and measurement noise as unknown variables，the posterior probability distributions of unknown variables and latent harmonic current in independent component analysis are calculated by variational Bayesian，and then the optimal harmonic current can be extracted without noise interference through iterative learning.Considering that the admittance of load side is much less than that of system side，the amplitude ratios are derived，and then the amplitude of harmonic current can be comput⁃ed.The characteristics of the presented method are verified by utilizing the IEEE 33-bus distribution network，also com⁃pared with conventional independent component analysis method.Experimental results show that the proposed method has higher estimation precision and stronger anti-noise ability.

harmonic state estimation；variational Bayesian；independent component analysis；unknown harmonic im⁃pedance；noise interference

TM711

A

1003-8930（2016）04-0068-05

2014-06-07；

2015-05-11

韩斐（1989—），女，硕士研究生，研究方向为电能质量、谐波状态估计。Email：hanfei_1211@163.com

杨洪耕（1949—），男，博士，教授，研究方向为电能质量、无功电压控制、智能电网等方面的教学和科研工作。Email：pqlab99@126.com

王佳兴（1989—），男，硕士研究生，研究方向为电能质量、电压暂降状态估计。Email：953249707@qq.com