宋艳萍（浙江省兰溪市第三中学）

三角函数最值问题的常见求解策略

宋艳萍
（浙江省兰溪市第三中学）

三角函数的最值问题是数学学习中一个非常重要的问题。从利用三角函数的有界性求解最值问题；引入辅助角，求解三角函数的最值问题；利用配方法，求三角函数的最值问题，利用换元法等方面归纳三角函数最值问题的常见求解方法。

三角函数；最值；求解；策略

三角函数的最值问题是三角函数基础知识的综合应用，其内容除了具有独特性质外，它也具有普通函数的性质。解决这类问题的基本途径同求解其他函数的最值一样：一方面应充分利用三角函数自身的特殊性（如有界性等）；另一方面还要注意将求解三角函数最值问题转化为求一些我们所熟知的函数（二次函数等）最值问题。另外，需要灵活运用三角公式进行三角变换，需要熟练的恒等变形能力。笔者通过几个例子，介绍三角函数的几种最值问题和常见的解题策略。

策略一：配方法

若函数表达式中只含有正弦函数或余弦函数，且它们的次数是2和1并存时，一般需要通过配方或换元将给定的函数化归为二次函数的最值问题来处理。

例1.求函数f（x）=-sin2x-3cosx+3的最小值。

［分析］本题可以通过公式sin2x=1-cos2x将函数表达式化为y=cos2x-3cosx+2。因含有cosx的二次式，可换元。

解：令：cosx=t，则-1≤t≤1，原函数可化为y=t2-3t+2，配方，得

策略二：化一法

所谓化一法是由“化一次”、“化一名”、“化一角”三部分组成，其中“化一次”使用到降幂公式，“化一名”使用到推导公式，“化一角”使用到倍角公式及三角函数的和差公式等， 因此需要大家熟练掌握相关公式并灵活运用。……