潘盛发（广西钦州市钦北区长滩中学）

数形结合谈数轴

潘盛发
（广西钦州市钦北区长滩中学）

探索数形结合的思想在数学中的应用，培养学生的数形结合意识，加强数形结合思想的训练，体现数形结合思想在教学中的基础性和重要性。

数形结合；数轴；应用

数形结合的思想就是将数学中抽象的数学语言、数量关系与具体直观的图像结合起来，利用抽象的思维和形象思维的有机结合，借助形的具体明确来反映数量之间的关系，借助数来具体描述形的本质内涵，用这种数形结合的思想来解决数学中某些问题往往可以使复杂的问题简单化，抽象的问题具体化，同时也便于对概念的理解和掌控。

在七年级的数学中，学习的数轴就是数形结合的最好例子。我们初次学习负数、相反数、绝对值以及有理数这些概念时，往往在理解上有一些困难，如果通过数轴来帮助理解，就可以解决这个问题。

数轴可以在以下几个方面帮助我们理解有关数的概念和解题中的应用。

一、利用数轴形象地表示有理数

数轴是规定了原点、正方向和单位长度的直线，零用原点来表示，正数用原点右侧的点表示，负数用原点左侧的点表示，这样就使较抽象的数能通过直观、形象的数轴上的点表示出来。

例：在数轴上表示有理数+2，0，-3。

在数轴上用0表示原点，A点表示+2，也就是A点在原点右侧，距原点有2个长度单位，用B点表示-3，也就是B点在原点左侧，距原点有3个长度单位。（如图1）

图1

二、利用数轴比较直观地理解相反数

只有符号不同的两个数叫做互为相反数。如5与-5、2与-2都是互为相反数。如果把这一概念与直观的数轴联系起来，那么互为相反数的两个数可以表示为数轴上的两个点，这两个点分别位于原点两侧，且它们到原点的距离相等。这样，相反数概念在数轴上得到了直观的解释。

例：在数轴上表示+4和-4，并判断它们是否互为相反数。

用A点表示+4，用B点表示-4，A点和B点在原点两侧，且到原点的距离都是4个长度单位，符合对于相反数的要求，因此+4和-4是互为相反数。（如图2）

图2

三、利用数轴比较有理数的大小

许多学生在比较两个有理数大小时，对法则理解不透，因而常常出错。若是把数轴利用起来，就会减少错误的出现。在比较有理数大小时，可以先在数轴上用点表示有理数，再观察哪个点在右，哪个点在左，因为左边的点表示的数比右边的点表示的数小。那从左到右，数轴上的点表示的数是由小到大的，因此，就把比较数的大小问题，转化成排列点的顺序问题，学生就很容易掌握。

例：在数轴上表示下列各数，并用“<”连接起来。

+3，-2，-3，+1，0。

根据题目要求，在数轴上把对应点找出来，从而就把5个点的左右顺序排定（如图3），得到：

-3<-2<0<+1<+3。

图3

四、利用数轴理解绝对值的意义

绝对值是中学数学中非常重要的概念，也是学习的难点之一，许多学生不能正确地理解这一概念，如果能借助数轴来理解这一概念，问题就会变得简单、直观。绝对值就是在数轴上表示这个数的点到原点的距离。因为两点间的距离是非负的，因此，任何数的绝对值都是非负的，即|a|≥0（a是有理数）。

例如：+2的绝对值是2，-3的绝对值是3，0的绝对值是0，如图4

图4

在数轴上用C点表示+2，C点到原点的距离为2个长度单位，在数轴上用D点表示-3，D点到原点的距离为3个长度单位，因为原点到原点的距离为0，所以0的绝对值是0。

五、利用数轴求出不等式组的解集

一般的，几个不等式和解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式的解集。先把每个不等式的解集在数轴上表示出来，从而利用数轴就可以直观地确定不等式组的解集。

例：解下列不等式组

解：解不等式①得x＞2

解不等式②2得x＞3

把不等式①和②的解集在数轴上表示出来（如图5）

图5

从图中可以找出两个不等式解集的公共部分，得到不等式组的解集：x＞3

数轴在其他方面还有更为广泛的应用，随着数的范围的第二次扩充，还可以用数轴上的点表示全体实数等。

由于数形结合思想是一种深层的数学知识，它隐含于数学教材之中，教学的首要任务就在于引导充分发掘教材中的数形结合思想，而挖掘过程采用的主要方法是归纳和提炼。教师在教学过程中根据数学知识编排课程内容时，要注意根据学生的认识规律，渗透一些数形结合的初步思想。根据教学实际情况引导说明，抓住数形结合的思想引导学生学习，既借助代数方法研究图形特征，这样既有利于数形结合思想的阐述，又比较符合学生的心理发展规律和认识规律，有利于提高学生学习数学的兴趣，开拓学生的解题思路，活跃课堂气氛，发展学生的形象思维能力、空间想象能力等。

当学生弄清了数形结合思想以后，教师在数学基础知识教学及解题指导中，应尽量体现数形结合思想的方法和运用，使其达到自觉、自由的熟练运用。

因此，在教学中教师要注意及时总结数形结合思想的特点，渗透数形结合意识，强化对数形结合思想的理解，要求学生在学习中能够充分发挥数轴的直观作用，使数形有机地结合，会使抽象的数学知识变得更形象，更直观，更生动，提高学生学习数学的兴趣，增强分析、解决问题的能力。

·编辑鲁翠红