王世楷

（甘肃省金昌市第四中学）

逆向思维在中学数学教学中的应用

王世楷

（甘肃省金昌市第四中学）

逆向思维是一种突破常规的定性模式和超越传统理论的框架，把思路指向新的领域和新的客体的思维方式。在中学数学教学中，加强学生逆向思维的训练和培养，不仅可以提高学生思维的主动性和积极性，还可以提高学生的创新意识。

逆向思维；探究性学习；创新意识

所谓逆向思维，是指人们为达到一定目标，从相反的角度来思考问题，从中引导启发思维的一种思维方式。通过平时的数学教学，我认为逆向思维应从以下几方面培养：

一、加强定义和概念的逆用

数学概念、规律是推理论证和运算的基础，准确地理解概念、规律是学好数学的前提。在教学中，教师除了要引导学生透彻理解定义和概念外，还要注意根据教学内容对定义逆向思考进行指导与训练，从而加深对概念的进一步理解与拓展。例如，在讲“余角”概念时，应要求学生从两个方面去理解：如果=90°，那么琢和互为余角；如果和互为余角，那么=90°。使学生把握住“互为余角”的实质：（1）与互为余角”表示是的余角，也是的余角；（2）互余的定义规定的是“两个角”，而不是一个角，也不是两个以上的角；（3）“互为余角”是两个角的一种“数量关系”，与两个角的位置无关。

二、加强公式、法则、定理的逆用

大家知道，数学中的许多公式、法则都可以用等式表示，等式具有双向性，但很多学生只习惯于从左到右运用公式，而对于逆向运用却不习惯。因此，在教学中应当明确等式既可以用左边的式子替换右边的式子，也可以用右边的式子替换左边的式子。

例如，（1）a（b+c）=ab+ac，反过来ab+ac=a（b+c）也成立。

这道题从正向思考繁琐复杂，甚至解答不了，但如果灵活逆用所学的法则，则会出现“柳暗花明又一村”的奇迹。

在定理教学中，每个定理都有它的逆命题，但它的逆命题不一定正确，经过证明后成立即为逆定理。因此，应强调慎重对待定理的逆命题。对于一个定理，应引导学生探求其逆命题的真假，使学生理解和掌握数学中的许多重要定理。如，在教材中研究勾股定理的逆定理时，给出了判定一个三角形是直角三角形的方法，教科书通过例题，让学生学会运用这种方法解决问题。勾股定理以及逆定理都成立，而且它们的应用也十分广泛。如：在ABC中，a=2n+1，b=2n2+2n，c=2n2+2n+1（n＞0），求证吟ABC是直角三角形。

三、解题思路的逆向分析

1.利用分析法逆向寻求解题方法

在解题教学中，如果只进行由此及彼的单一训练，而忽视由彼及此的逆向联想，很容易造成学生思维过程的单向定势，因此，应重视逆向思维的训练，适时采用分析法，培养学生双向考虑问题的良好习惯。例如，现对甲、乙、丙三个小组的人员作如下调整：第一次丙组不动，甲、乙两组中的一组调出7人给另一组；第二次乙组不动，甲、丙两组中的一组调出7人给另一组；第三次甲组不动，乙、丙两组中的一组调出7人给另一组。三次调整后，甲组有5人，乙组有13人，丙组有6人，问甲、乙、丙三个小组原来各有多少人？

分析：用列方程的方法“正面”求解将很繁琐，因为我们并不知道第一次调整是甲组调进乙组7个人，还是乙组调进甲组7个人，需要分别讨论，然而用“逆推”的方法就简洁明快得多了。

2.运用反证法从反面寻求解题方法

反证法是教学中一种重要的证明方法。在平时数学练习中，要认真审题，细致观察，对解题起关键作用的隐含条件要有挖掘的能力。因此，我们在解决问题时不仅要学会从条件到结论去分析，还要学会从结论到条件逆向分析的方法。如，已知：n是整数，n2是2的倍数，求证：n是2的倍数。

分析：假设n不是2的倍数，即n不能被2整除，n被2除余1，即n=2m+1（m为整数），则n2=（2m+1）2=4m2+4m+1=2（2m2+2m）+ 1，所以n2不是2的倍数，这与题设矛盾，故n不是2的倍数的假设不成立，从而得出n是2的倍数。

在中学数学教学中，学生储备丰富的知识是培养学生逆向思维能力的前提。经常使用这种思维训练方式，可以拓宽学生思维的空间，特别是逆向思维的培养，是形成创造性思维的基础。因此，逆向思维是对旧观念的一种突破，是思维创新的一条新途径，是“反其道而行之”，是“出人意料之外”，是“出奇制胜之本”，应引起高度重视。

·编辑赵飞飞