白凯娟,木效文,邓重阳

(杭州电子科技大学理学院，浙江 杭州，310018 )



平面双线性映射的逆的几何意义

白凯娟,木效文,邓重阳

(杭州电子科技大学理学院，浙江 杭州，310018 )

摘要：揭示了平面双线性映射的逆的几何意义.对于梯形的4个顶点所定义的平面双线性映射，梯形两腰的交点的逆有无穷多个，对于过梯形两腰延长线的交点且与底边平行的直线上除交点外的点,其逆不存在，对于平面上其它的点,其逆是唯一的；对于其它平面四边形的4个顶点所定义的双线性映射，存在1条与4条边所在直线都相切的抛物线，对于抛物线上的点，其逆唯一，对于抛物线外侧的点，其逆有2个，对于抛物线内侧的点，其逆不存在.

关键词：四边形；双线性映射的逆；抛物线

0引言

近年来，平面双线性映射已经广泛应用于计算机图形学[1]，有限元法[2]及其相关领域，MICHACLS.Floater对平面四边形的双线性映射做了进一步研究，把平面内的点P定义为双线性映射的像，也对其逆做了具体的说明.本文研究了平面双线性映射的逆的几何意义.首先讨论梯形的4个顶点所定义的双线性映射，然后讨论一般的平面四边形的4个顶点所定义的双线性映射.

1梯形的双线性映射及其逆

平面四边形的4个顶点P00,P01,P10,P11定义的双线性映射[3]为：对于平面内任一点P，存在实数s，t，使得

P(s,t)=(1-s)(1-t)P00+(1-s)tP01+s(1-t)P10+s tP11.

(1)

对于平面四边形P00P10P01P11设

P11=λ1P00+λ2P01+λ3P10,

(2)

其中，λ1，λ2，λ3为点P11在三角形P00P01P10的3个顶点处的重心坐标.

将式(2)P11代入式(1)，得

P=[1-s-t+(1+λ1)s t]P00+[t+(λ2-1)s t]P01+[s+(λ3-1)s t]P10.令P=u1P00+u2P01+u3P10,其中，u1，u2，u3为点P在三角形P00P01P10的3个顶点处的重心坐标.

因为点P在三……