杨　洁，张　嵩

(杭州电子科技大学通信工程学院，浙江 杭州 310018)



多参数梯度稀疏正则化图像非盲去模糊

杨洁，张嵩

(杭州电子科技大学通信工程学院，浙江 杭州 310018)

摘要：自然图像在不同纹理区域具有不同的梯度特性 ，通过对图像梯度进行合理分层规划将图像纹理划分为5个区域，对各纹理区域梯度进行 lp范数约束，且每个区域对应1个合适的p指数值，建立多参数正则化模型，有效避免了全局单一p指数的缺陷.最后结合GISA稀疏编码框架，得到更加稳固的复原结果.通过实验对比，发现提出的多参数梯度稀疏正则化方法可以有效地提升图像纹理细节部分视觉质量，同时也能取得更高的信噪比.

关键词：lp范数约束；图像梯度；多参数正则化；纹理划分

0引言

在用数码相机等设备获取图像的过程中，经常会遇到由于抖动、离焦等原因而导致的图像模糊问题.1977年，文献[1]提出了Tikhonov正则化方法，但是复原结果出现过平滑现象；文献[2]利用全变分(TV)模型建模，复原结果保留了图像中大部分陡峭边缘以及物体的边界，但是在平滑区域会出现阶梯现象；自然图像梯度分布具有“重尾”特性[3]，文献[4]指出图像梯度满足超拉氏分布分布，并在MAP框架下建模；文献[5]提出了GISA稀疏编码算法，从理论上给出解决非凸优化问题的一般方法，应用在图像处理中得到了更加稳固的解.但是图像不同纹理区域具有不同的梯度特性，文献[4]及文献[5]等文章中，在图像全局仅使用单一p指数的lp范数约束，会损失图像纹理的中频部分，不利于不同纹理区域细节的重建.

本文在实验中发现，强纹理区域应使用较大的p指数，而平滑区应采用较小的p指数.提出一种根据梯度信息对图像分区域的方法，划分出图像的纹理区、平滑区等各个区域，在不同区域赋予p指数不同的值，即多参数梯度稀疏正则化.然后结合GISA稀疏编码框架求解建立的最小化模型.实验证明，本文方法能够使得复原结果拥有更高的信噪比和更好的视觉质量.

1不同纹理p指数估计

1.1p指数估计方法

一幅自然图像中，其不同的纹理区域的梯度数值大小显然是不同的，如图1所示，(a)为原始图，(b)为其梯度图.一般认为图1中(b)图的黑色部分为图像中平滑区域，梯度值大都集中在0值附近.而其他白色部分梯度值较大，是图像中纹理和边缘区域.根据梯度对图像划分区域，然后每个纹理区域再估计出其合适的p指数值.

首先定义纹理强度为TS(t)，则有：

(1)

图1　“帽子”图的梯度显示结果

其中，TS(t)为像素点t处的纹理强度，如果TS(t)为0或者很小则这个像素点位于平滑区，否则位于纹理区；D为图像梯度；W为以像素位置t为中心的3×3的窗口；N为窗口W内像素点总个数，此时N=9；在这个窗口内，hi为其中的每一个梯度值.

使用纹理强度TS(t)来划分图像区域：平滑区、弱纹理区与强纹理区、弱边缘与强边缘区[7].通过大量实验验证得到可靠的经验数据，总结出纹理区域划分结果以及对应p指数值如表1所示.TS(t)的区间值对应1种纹理区域.不同纹理区p指数的确定方法是：首先将每幅图像的各个纹理区域单独取出，针对该区域调整p指数，得到最佳复原结果，此时的p值就对应这种纹理.每1种纹理区域经过50次实验，对得到的p指数取平均值做为该区域最终的p指数值.

表1　不同区间值对应的纹理区域及其P指数

1.2预处理

目前，只有模糊图像无法得到关于真实图像的梯度.为了解决这个问题，先对模糊图像进行预处理[6]，得到包含更多细节的初始估计图像f1，再使用 f1进行p指数的估计.预处理步骤如下：

1)使用标准Tikhonov正则化方法对模糊图像解进行卷积运算得到f0，这一步也叫做高斯解卷积.尽管f0包含噪声与失真，但是可以得到关于边缘与纹理区的比较好的估计；

2)对初始估计的图像f0进行保留边缘的平滑滤波得到f1，在减少噪声的同时保留重要边缘纹理信息.

2多参数梯度稀疏正则化模型

图像去模糊的目的就是从模糊退化图像y中恢复出清晰地真实图像，给出模糊核k，并假定噪声n满足均值为0的高斯分布.建模如下[5]：

(2)

其中，F=[Fu，Fv]表示梯度算子的矩阵形式，这里梯度包括水平和竖直两个方向；λ=[λu，λv]表示正则参数，也包含水平和竖直两个方向.所以式(2)可以改写为：

(3)

并且x⊗k≡Kx，K是模糊核k的矩阵形式.式(3)就是本文所得到的最终多参数模型，清晰图像x通过求解式(3)得到.其中关于p的参数是根据第1节p指数估计方法得到.根据文献[4]、文献[8]，将式(3)做变量分裂，引入新的附加变量ωu=Fux，ωv=Fvxv得到新的代价函数：

(4)

其中，β是一个权重因子，当β→∞时，式(4)的解等价于式(3)的解.采用交替优化的方法迭代求解式(4)的最小化问题.

1) 求解x子问题.固定ω，式(4)变为关于x的二次优化问题：

(5)

求得封闭解[5,7,8]：

(6)

2) 求解ω子问题.固定x，ωu、ωv，通过求解下面最小化问题得到：

(7)

(8)

当p< 1时，使用文献[5]的GST算法求解，可以写为：

ωu=GST(Fux;1/β),

(9)

ωv=GST(Fvx;1/β).

(10)

当p> 1时，使用二分法求最优解.

3算法总结

最后将上述步骤总结为算法1.交替优化求解x子问题以及ω子问题，迭代次数为T.这里采用Krishnan[4]的策略，从较小的β0开始通过乘以1个常量因子βinc逐渐增大β的值直到达到最大值βmax.

算法1多参数梯度稀疏正则化算法

输入:模糊图像y,模糊核k,β的参数设定:β0=1,βinc=2,βmax=28内部迭代次数T=31.β=β0,x=y2. 计算式(6)中的常数项3. 高斯解卷积预处理得到f1,估计p指数4. whileβ<βmaxdo5. iter=06. fori=1toT7. 给出x,使用GST算法求式(9),式(10)的解ω8. 给出ω,式计算(6)得到x9. endfor10. β=βinc*β11. endwhile输出:复原图像x

4仿真实验

从网站http://r0k.us/graphics/kodak/kodim19.html提取前10幅图，输入模糊图像由原始图像卷积模糊核加噪声得到.通过仿真实验来验证本文算法的去模糊效果，并与现今最常见和最有效的5种非盲算法做对比.5种算法分别为：Richardson-Lucy (RL)算法[9]；总变分(TV)方法[8]，其中迭代次数选取800次为最佳效果；查找表(LUT)方法[4]，选取指数α= 2/3；自适应稀疏先验快速解卷积方法[6]；GISA[5]，选取指数p= 0.7.实验中，把每种算法都调整到最佳效果状态，为了防止边界填充处理对算法效果的影响，统一采用文献[5]中的填充方法.

选取其中的帽子图案进行说明.使用23×23的模糊核加1%的高斯噪声来产生输入模糊图像，如图2所示，(a)图为清晰图像，其左下角为模糊核，大小为23×23；(b)图为模糊图像，信噪比为8.1 dB.(c)图为通过对模糊图像预处理，然后使用本文提出的p指数估计方法得到的p指数值的可视化结果，(c)图上下分别为水平方向px和竖直方向py对应梯度的两个方向.可以看到大致为原图的轮廓，也从侧面证实了本文估计方法的可行性.

图2　“帽子”图模糊结果与p指数可视化

首先使用图2“帽子”(494×750)的模糊图像(图2 (b))和模糊核作为输入，6种算法复原结果对比如图3所示，第1行为整幅图像重建结果图，第2行为复原结果图中方框内的细节放大.各算法复原结果信噪比分别为：本文算法15.27dB，文献[5]算法12.48dB，文献[4]算法12.82dB，文献[6]算法12.49dB，文献[9]算法8.37dB，文献[8]算法14.97dB.从复原结果的SNR来看，本文算法相比其他5种算法提高了大约1dB左右，而且在视觉质量上相比其他方法也有较大提升.

图3　“帽子”实验结果及其细节放大图对比

更多结果仿真结果对比数据如表2所示，通过数据对比可以发现，本文提出的算法可以获得更高的信噪比.

表2　6种算法复原结果信噪比对比　dB

5结束语

本文提出了一种根据图像不同纹理的多参数梯度稀疏正则化方法，并提出利用梯度数据进行纹理分区的概念.通过对算法的实验分析，本文算法不但能够获得更高的信噪比(SNR)而且在纹理细节处具有更好的视觉质量.其中一个重要步骤是对p参数的估计，试验中发现，更加精确的p指数值对复原结果影响很大，本文的估计算法不一定是最准确的，但是可以取得更好的复原质量.今后的研究重点放在p指数估计上，通过寻求更好的p指数估算方法来提升图像的复原质量.

参考文献

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DOI：10.13954/j.cnki.hdu.2016.03.015

收稿日期：2015-10-10

作者简介：杨洁 (1990-)，男，山东济宁人，硕士研究生,图像处理.通信作者：张嵩副教授，E-mail: zhangsong @hdu.edu.cn.

中图分类号：TP391

文献标识码：A

文章编号：1001-9146(2016)03-0073-05

Non-blind Image Deblur with Multi-parameter Gradient Sparse Regularization

YANG Jie, ZHANG Song

(SchoolofCommunicationEngineering,HangzhouDianziUniversity,HangzhouZhejiang310018,China)

Abstract：Natural images have various gradient distributions in different textures, by taking advantage of this characteristics we partition image into five different texture regions. We use lp-norm to constraint the gradient of each texture region, and every region corresponds to a suitable p value. Such that we build the multi-parameter regularization model which overcomes the drawback in global image of single p value. Finally, combine with GISA sparse coding framework to get a more solid result. By comparing the experimental result, it proves that our algorithm can effectively improve the visual quality in details and achieve higher signal to noise ratio.

Key words：lp norm constraint; image gradient; multi-parameter regularization; texture partition