李永华，程杰，陈秉智

(1.大连交通大学 交通运输工程学院，辽宁 大连 116028；2.大连交通大学 机械工程学院，辽宁 大连 116028)



基于Bayes方法的动车组轴箱弹簧可靠性寿命评估

李永华1，程杰2，陈秉智1

(1.大连交通大学 交通运输工程学院，辽宁 大连 116028；2.大连交通大学 机械工程学院，辽宁 大连 116028)

摘要:采用Bayes方法进行动车组轴箱弹簧可靠性寿命评估，提出在小子样条件下利用改进的证据理论合成规则对多源验前信息进行信息融合；轴箱弹簧寿命满足Weibull分布时，在形状参数不变的条件下将该分布转化为指数分布，简化Bayes可靠性评估中后验分布的求解过程。该方法不仅使评估结果更符合实际情况，而且提高了评估结果的准确性。

关键词：信息融合；Bayes；轴箱弹簧；寿命评估

轴箱弹簧作为动车组转向架的关键部件之一，起到连接、定位、缓和振动与冲击等作用[1]。目前，对轴箱弹簧的可靠性寿命评估方法主要是通过对载荷、应力分析、碰撞损伤、接触疲劳等方面进行分析[2-5]，并预计或估算其疲劳寿命，所得到的弹簧寿命多为循环次数，而非运营里程数，这样的评估结果不能直接为弹簧检修、更换提供指导。在小子样条件下对轴箱弹簧进行可靠性寿命评估时，可采用现有的半经验法，但半经验法过于依靠工程经验，评估结果过于集中、存在一定误差[6]。因此，如何在小子样条件下根据轴箱弹簧实际寿命里程数进行可靠性寿命评估，得到更可靠的、准确的、符合实际的轴箱弹簧寿命，并对运营中的轴箱弹簧更换、检修十分重要。本文使用Bayes方法对轴箱弹簧进行可靠性寿命评估，并结合D-S证据理论进行信息融合；在形状参数不变的条件下，通过将Weibull分布转化为指数分布，选取伽玛分布作为验前分布；使用Bayes方法对Weibull分布中的尺度参数进行估计得到后验分布，运用后验分布进行可靠性寿命计算。该过程可简化Bayes可靠性评估的求解，还使得在小子样试验条件下，更加充分地利用大量历史信息和专家信息等信息，做出更符合实际和准确的评估结果，为动车组运行维护中轴箱弹簧检修及更换提供参考。

1基于D-S证据理论的信息融合

在小子样可靠性评估中，虽然试验信息较少，但存在着大量验前信息[7]，需要将这些不同类别的信息进行融合。证据理论可以综合多个证据信息的信任分配，已被成功于用来处理许多专业领域的不确定、不精确信息以及多源信息问题[8-10]。本文利用证据理论中的合成规则，对验前多源信息进行融合。

1.1合成规则

使用传统的D-S证据合成规则对冲突证据进行合成时，存在合成结果与事实不符的悖论[11-12]。为避免出现悖论问题，文献[13]提出一种改进方法，通过使用一种新的冲突度量因子和证据来修正。所提出的冲突因子是对Jousselme证据距离[14]的一种改进，对冲突证据的合成具有明显优势。

定义：设Θ为辨识框架，∀X⊆Θ，m(X)表示用[0,1]区间上一个确定值来赋予2Θ中的每一个元素，即m(X)：2Θ→[0,1]，并且满足：

m(φ)=0

(1)

∑X∈2Θm(X)=1

(2)

式中，m(X)为基元的基本信任分配函数(BasicProbabilityAssignment，BPA)。

用D-S证据理论的合成规则来融合所有的BPA时，表达式为：

m(C)=mi(X)⊕mj(Y)=

(3)

文献[13]中针对冲突的证据进行了修正，修正规则为：

(4)

满足归一化后：

(5)

(6)

1.2信息融合

将历史试验数据信息和专家信息进行信息融合时，先将2种数据尽可能地转化为相同类型的信息，再建立辨识框架，通过辨识框架构建多个BPA。按照1.1节中的修正合成方法对进行证据信息进行修正，并将修正后的证据进行合成。

对识别框架{A,B}，建立2个不同证据源的基本信任分配函数：

AB

当m1和m2冲突证据时，使用文献[13]中的方法进行修正，得到修正后的基本信任分配函数为：

ABΘ

(7)

由于辨识框架中满足：∑X∈2Θm(X)=1，对修正后的证据使用D-S证据合成后的结果也一定满足：∑m(C)=1。可以将合成后的m(C)值视为相应信息源中相关参数在融合后的信息中所占的权重。

假设：参数λ在信息源A和B中的值为λ1和λ2，使用式(7)求得m(A)、m(B)、m(Θ)后，对参数λ进行融合，其方程为：

(8)

根据D-S证据理论合成过程，分别对信息源A和B中所包含的其他参数进行逐一归纳、融合，可以得到多个参数的融合结果。

通过本节对信息融合方法的描述，可以看出：融合过程中没有使用过多的假设，避免了因主观原因而导致的不合理结果；即使不同信息之间出现较明显的冲突时，改进后合成规则也能根据其自身优势使得融合结果更加合理。

2Weibull分布的Bayes可靠性评估

在结构疲劳寿命评估中，认为Weibull分布比其他分布更能准确地描述疲劳寿命的概率分布[15]，且在根据同批次的产品的疲劳寿命数据统计显示，当满足Weibull分布时，其形状参数基本保持不变[16]，可视为常数，可以将Weibull分布转化为指数分布；Weibull分布没有与之相应的共轭分布，指数分布存在共轭分布，通过共轭分布方法选取适当的验前分布，避免直接求解Bayes方程时的大量积分运算。

Weibull分布中的尺度参数作为未知变量，通过将Weibull分布的转化为指数分布，并选取伽玛分布作为验前分布；对尺度参数进行Bayes评估，对形状参数进行极大似然估计；再根据评估结果将后验分布还原为Weibull分布；最后使用后验分布进行可靠性相关指标计算。

2.1Weibull分布的转化及参数估计

两参数的Weibull分布的概率密度函数f(t)为：

(9)

两参数的Weibull分布的可靠度R(t)为：

(10)

式中，t为时间；η为尺度参数；m为形状参数。

变量t的累积分布函数F(t)为[16]：

当形状参数m为常数时，令x=tm，则dx=mtm-1dt，可得：

转化后的F(t)的可视为指数分布的累积分布函数形式，转化后的概率密度函数f′(t)为：

(11)

式(11)中θ=ηm，x=tm(η>1，m>1)，可以看出尺度参数η的差将被放大m次方；因此，对评估精度的影响因数中，尺度参数η的误差引起的影响比形状参数m误差引起的影响更大。对尺度参数η进行Bayes评估比对形状参数m进行评估对保证评估结果的精度更有意义。

利用得到的极大似然函数方程对参数η，m求偏导，得到极大似然估计方程：

(12)

2.2Bayes可靠性评估

使用Bayes方法进行可靠性评估时，可以充分利用样本信息构成的似然函数分布和历史信息构建验前分布，再利用Bayes公式推导出后验分布。在评估该过程中由共轭分布法原则，根据样本信息可以对验前信息进行适当修改，使得最终的评估结果更加接近真实情况。

Bayes原理可表达为：

(13)

轴箱弹簧的实验样本信息服从Weibull分布时，将参数1/θ作为未知变量；由共轭分布法，选取伽玛分布作为验前信息的分布形式。由θ=ηm可知，参数θ的值只与尺度参数η值有关，对θ进行Bayes点估计，就是对尺度参数η的点估计。

当验前信息服从伽玛分布时，将参数1/θ作为变量的概率密度函数为：

(14)

对θ的均值进行Bayes点估计时，选择在平方损失函数条件下[16]，其评估值为：

(15)

由伽玛分布的矩估计方法，可知参数α和β的矩估计值为：

(16)

(17)

(18)

使用Bayes方法得到的后验分布进行可靠性评估时，根据式(10)，可靠度R′(t)为：

(19)

3轴箱弹簧的Bayes可靠性评估过程

轴箱弹簧的Bayes可靠性寿命评估流程图如图1所示。

图1　Bayes可靠性评估流程图Fig.1 Flowchart of the Bayes reliability evaluation

按照第1节中介绍的证据理论合成规则，首先对轴箱弹簧的验前信息建立识别框架：{相似的轴箱弹簧的寿命信息(A),专家信息(B)}；其基本信任分配函数为：

AB

该函数中的证据m1和m2为明显的冲突证据，经过修正后的证据和合成后结果见表1。

表1　证据融合结果

表2　相关参数计算结果

通过图2信息融合中的概率密度函数图可知，使用文中的信息融合方法得到的信息融合结果是多种信息的综合，融合后的信息加强了类似试件的试验信息和专家信息中共同包含的信息，同时减弱了2种信息中的冲突部分，使得融合后信息更加准确。随着信息源的增加，融合后的信息的准确性将进一步增加。

图2　信息融合中的概率密度函数图Fig.2 Robability density function of information fusion

轴箱弹簧可靠性寿命评估中，使用Bayes方法得到的评估结果综合了试验信息和历史信息，结合式(18)得到的概率密度函数为：

将似然函数分布、验前分布以及验后分布的概率密度函数进行比较，如图3所示。可以看出，使用Bayes方法得到的验后分布中加强了验前信息和历史信息中相同的部分，同时减弱了2种信息中不相同的部分，使得使用后验分布评估结果比后两者更加接近实际情况。

图3　Bayes评估中的概率密度函数图Fig.3 Probability density function of Bayes evaluation

利用Bayes方法得到的后验分布进行可靠性寿命评估中，当可靠度为90%时，根据式(19)，得到轴箱弹簧寿命评估结果为：t=67×104km。

相同条件下，采用传统的半经验法[6]计算，当可靠度为90%时，得到的寿命评估结果为：t′=99×104km。

通过将t和t′与测试数据对比可知，文中所提方法的评估结果与试验测试结果更符合，因此评估结果更加可靠。

4结论

1)使用证据理论合成规则，将不同类型的信息和冲突信息进行合成，把更多的信息整合到验前分布中。本文的信息融合过程中，没有使用过多的前提假设，避免了一部分由主观认识产生的误差，使得到的验前分布更准确。

2)随着新信息的出现，可以在此基础上继续合成。随着验前分布中融合的信息越多，使用Bayes方法的评估结果就越接近真实情况。

3)由于Bayes评估方法的灵活性，随着新的试验样本的出现，本次评估结果可作为下一次试验数据的一种验前信息，再继续进行Bayes可靠性寿命评估，从而对轴箱弹簧建立实时的可靠性寿命评估模型。

4)通过在形状参数不变的条件下，将Weibull分布转化为指数分布，简化了Weibull分布下Bayes方程的求解过程；得到的Bayes点估计同样准确、有效。最终的评估结果符合实际情况，当可靠度为90%时，轴箱弹簧寿命t=67×104km，可为指导轴箱弹簧的检测、维修提供参考。

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* 收稿日期：2016-01-30

基金项目：辽宁省自然科学基金优秀人才培育项目(2014028020)；辽宁省教育厅科学研究一般项目(L2013182)；大连市科技计划项目(2015A11GX026)

通讯作者：李永华(1971-)，女，黑龙江青冈人，教授，从事可靠性工程，机车车辆RAMS，稳健优化方面的研究；E-mail：yonghuali@163.com

中图分类号：U271.91

文献标志码：A

文章编号：1672-7029(2016)06-1193-06

Reliability life evaluation of EMU exle box spring based on bayes method

LI Yonghua1, CHENG Jie2, CHEN Bingzhi1

(1.SchoolofTrafficandTransportationEngineering,DalianJiaotongUniversity,Dalian116028,China;2.SchoolofMechanicalEngineering,DalianJiaotongUniversity,Dalian116028,China)

Abstract:The reliability life of EMU axle box spring is evaluated by Bayes method. The improved Evidence theory is mentioned and used on information fusion between a variety of prior information on the condition of small sample. When the life of axle box spring satisfies the Weibull distribution, this distribution is converted to the exponential distribution under the situation of keeping the shape parameter invariant. Then the posterior distribution in the process of the Bayes reliability evaluation can be solved. This method can be used to get more practical results and improve the accuracy of the evaluation results.

Key words:information fusion; Bayes; axle box spring; life assessment