柴志远

一、引言

在讨论研究多元函数的有关理论和概念时，重要是研究二元函数，因为二元函数所讨论的一切结论都能相应的推广到n（n>2）元函数上去，二元函数的极限是反映函数在某一领域的重要属性的一个基本概念，它刻画了当自变量趋向于某一个定值时，函数值的变化趋势，是高等数学中一个极其重要的问题，本文就是主要讨论二元函数极限问题，重要研究二元函数各种极限之间的关系.

二、预备知识

定义1：设二元函数f（x，y）在平面点集D上有定义，（x0，y0）为D的聚点，A为常数，若？坌ε>0，？埚？啄>0使得：？坌（x，y）∈D，当0<<？啄时；或？坌（x，y）∈D，当x-x0<？啄，y-y0<？啄，且（x，y）≠（x0，y0）时，有f（x，y）-A<ε成立，则称A为f（x，y）在点，f（x0，y0）的二重极限，记为f（x，y）=A.

定义2：设Ex？奂R，Ey？奂R，x0为Ex的聚点，y0为Ey的聚点，二元函数f（x，y）在平面Ex×Ey点集上有定义，若？坌y∈Ey，极限f（x，y）=？渍（y）存在，又若极限？渍（y）=B存在，则称B为二元函数f（x，y）在点（x0，y0）先x后y的累次极限，记为f（x，y）=B.若？坌x∈Ex，极限f（x，y）=？渍（x）存在，又若极限？渍（x）=C存在，则称C为二元函数f（x，y）在点（x0，y0）先y后x的累次极限，记为f（x，y）=C.

定义3：设二元函数f（x，y）在点（x0，y0）某空心领域内有定义，取α∈[0，2π]，若极限f（x0+ρcosα，y0+ρsinα）=Dα存在，则称Dα为f（x，y）在点（x0，y0）沿方向（cosα，sinα）的方向极限.

定义4：设二元函数f（x，y）在点（x0，y0）某空心领域内有定义，？坌α∈[0，2π]，若极限f（x0+ρcosα，y0+ρsinα）=D存在且相等，则称D为f（x，y）在点（x0，y0）的弱二重极限.

定义5：设{Pn（xn，yn}是平面上的一个无穷点列.我们称{Pn}以点P0为极限即有Pn=P0.意思是说：？坌ε>0，？埚N>0，当n>N时，恒有Pn-P0<ε成立.我们很容易证明：Pn（xn，yn）→P0（x0，y0）当且仅当xn→x0，yn→y0（当n→∞时）.

三、二元函数各种极限之间的关系

二元函数各种极限之间的关系错综复杂，往往由一种极限的存在不能推出另一种极限存在.

1.二重极限与弱二重极限的关系