宋　伟

(黑龙江工业学院 机械工程系，黑龙江 鸡西 158100)



由一个等腰梯形性质给出一个内积空间的特征

宋伟

(黑龙江工业学院 机械工程系，黑龙江 鸡西 158100)

摘要：对于内积空间的特征，迄今为止学者们已经取得了大量的成果。本文通过等腰梯形的一个性质给出一个内积空间的特征并予以证明。

关键词：等腰梯形；内积空间； 范数

1预备知识

图1

定义1[2]称E是一实赋范线性空间，是指E是一线性空间，并且对E中每一个元按一定法，则使其与一其非负实数‖x‖相对应，此对应关系满足

(2) ‖x+y‖≤‖x‖+‖y‖(∀x,y∈E)(三角不等式)；

(3) ‖αx‖=|α|‖x‖(∀α∈R,∀x∈E)(齐次性)，

在欧氏空间E中满足以下任意两个条件的范数构成的内积，也就是说E是一个内积空间。

2内积空间的一个特征

现将(Ⅰ)式引入内积空间，对于给定的向量x,y,z,ω(如图2)

图2

此外，要证等腰梯形的条件需要引入如下式子：

‖ω-x‖=‖y‖；x=μ(ω-y)其中μ≥0，

情形1：当μ=1时，梯形平行的两条边等长，我们易知此时的梯形为矩形，此种情形被广泛定义为实赋范线性空间的正交性。

情形2：当μ为另外一种取值时，引用公式(Ⅱ)就有

定理1 一个实赋范空间E是内积空间当且仅当E中任意向量x,y,z∈E都有等式(Ⅳ)成立。

证明：必要性是显然的，只需证明充分性。

对于E中任意两个单位向量α,β，且α,β∈SE，此时上式变为

其次证明，再一次用等式(Ⅳ)，用y代替z，得到

从这一等式能得到两个结果：α,β∈SE，用α+β替换x，α替换y：

由于任意单位向量α,β，α,β∈SE，再由证明内积空间的条件(1)可得所证空间为内积空间，此定理得证。

[参考文献]

[1] F. Suzuki.A Certain Property of Isosceles Trapezoid and its Application to Chain Circle Problems[J]. Math. mag.，1995，8(2)：136-145.

[2] 张恭庆, 林源渠. 泛函分析讲义[M]. 北京: 北京大学出版社, 2006: 26-28.

[3] M. M. DAY.Some characterizations of inner product spaces[J].Trans. Amer. Math. Soc.,1947(62):320- 337.

[责任编辑……