杜丽华，王　红

(辽宁师范大学 数学学院，辽宁 大连116029)



低维约当D-双代数的性质*

杜丽华，王红

(辽宁师范大学 数学学院，辽宁 大连116029)

摘要:主要研究低维约当D-双代数及其基本性质,它们是在约当代数的基础上得到的.首先找到上边界约当D-双代数的构造方法以及低维约当代数的分类,计算了这类约当代数上Yang-Baxter方程的张量形式的解.然后利用约当代数的配对可以得到每一类约当代数上对应的上边界约当D-双代数的代数运算,从而得到了低维上边界约当D-双代数的分类.

关键词:约当代数；约当D-双代数；约当Yang-Baxter方程

上世纪30年代,物理学家P.Jordan在研究量子力学时给出了约当代数的概念,从此约当代数走上了历史舞台.随着科技的发展,约当代数很快成为一个独立的代数体系并渗透到其他领域,除了在数学中有许多应用,在其他方面的应用也有很多,例如量子力学、量子群等等.本文主要讨论它的基本问题,例如约当D-双代数.本文利用约当Yang-Baxter方程,在经典Yang-Baxter方程的基础上,对于每一类约当代数找到约当Yang-Baxter方程的一个反对称解,在约当D-双代数结构的基础上,得到2、4、6维上边界约当D-双代数的分类.

1基础知识

定义1设J是域F上的线性空间,J中定义乘法运算:(x,y)→x•y,若满足下面的等式

x•y=y•x

(1)

((x•x)•y)•x=(x•x)•(y•x)

(2)

(∀x,y∈J)，则称J是域F上的一个约当代数.

定义2(J,•)是一个约当代数,V是域F上的线性空间,如果线性映射ρ:J→gl(V)满足下面的方程

[ρ(x),ρ(y•z)]+[ρ(y),ρ(z•x)]+

[ρ(z),ρ(x•y)]=0

ρ(x)ρ(y)ρ(z)+ρ(z)ρ(y)ρ(x)+ρ((x•z)•y)=

ρ(x)ρ(y•z)+ρ(y)ρ(z•x)+ρ(z)ρ(x•y)

其中，x,y,z,u∈J,[ρ(x),ρ(y)]=ρ(x)ρ(y)-ρ(y)ρ(x).则ρ是J的一个表示或一个模,记为(ρ,V)或ρ.

定义4设(J,•)是一个约当代数,如果线性映射Δ:J→J⊗J满足下面……