汪淑兰，黄贤通

(赣南师范学院 数学与计算机科学学院，江西 赣州　341000)



一类矩阵的三特征对逆二次特征问题* 1

汪淑兰，黄贤通

(赣南师范学院 数学与计算机科学学院，江西 赣州341000)

摘要：研究基于三特征对的逆二次特征问题，给出问题解存在的条件，并且求出有解存在的条件下解的表达式，给出算例并证明理论的正确性.

关键词：特征值；特征向量； 特征对；逆二次特征问题

二次特征问题，是指已知矩阵三元组(M,C,K)，求数λ和向量x满足Q(λ)x=0，这里Q(λ)=λ2M+λC+K，此时称满足detQ(λ)=0的λ为二次特征值，满足Q(λ)x=0的x称为对应于λ的特征向量，称(λ,x)为特征对.这类问题来源于文献[1]带阻尼的弹簧质点系统(此时,M对应质量矩阵,C对应阻尼阵,K对应刚度矩阵) 和文献[2]二阶四网孔电路系统(此时,M对应电感矩阵,C对应电阻阵,K对应电容矩阵).如图1所示.

图1

图1中四网孔电路中Ui是电压，Ii是电流，Ri是电阻，Li是电感，Ci是电容.

逆二次特征问题，是指根据矩阵三元组(M,C,K)的部分信息，寻找M、C、K的全部信息，使得具有事先给定的特征值，或具有事先给定的特征对，前者被称为逆二次特征值问题，后者被称为逆二次特征对问题.文献[3-7]中探究了逆二次特征问题，当给定信息不同时， 使得满足给定条件以达到对电路的设计.本文以二阶电路系统中的四网孔电路的设计为背景，研究了三特征对的逆二次特征值问题：

问题P已知矩阵K∈R4×4中的d3，对于给定的特征值λ,μ,γ，以及对应的特征向量x=(x1x2x3x4)′，y=(y1y2y3y4)′，z=(z1z2z3z4)′，求矩阵M、矩阵C以及矩阵K中的d2,d4，使得下面的式子是成立的：Q(λ)x=0，Q(μ)y=0，Q(γ)z=0. 其中

1问……