鲁红英,李映夏

(1.东北财经大学 数学学院，辽宁 大连 116025;2.南京信息工程大学 应用气象学院,江苏 南京 210044)



具有反馈控制的Schoener模型的渐近周期解

鲁红英1,李映夏2

(1.东北财经大学 数学学院，辽宁 大连 116025;2.南京信息工程大学 应用气象学院,江苏 南京 210044)

摘要考虑了具有反馈控制的非自治Schoener竞争生态系统.通过建立相应的伴随系统和构造合适的Liapunov函数，得到了该系统唯一存在正的全局渐近稳定的渐近周期解的充分条件.

关键词Schoener模型；反馈控制；Liapunov函数；全局渐近稳定；渐近周期解

1974年，Schoener[1]提出了著名的自治两种群竞争模型：

(1)

本文考虑如下非自治Schoner竞争模型：

(2)

考虑到生态学意义，本文假设系统(2)满足初始条件

1主要结果

定义2[14]若系统(2)的某个正解

满足：

b) 对于系统(2)的任何其它正解

有

称系统(2)是全局渐近稳定的.

(iii) V′(t,x,y)≤-cV(t,x,y),这里 c>0是一个常数.

运用文献[17]的研究方法可以得到系统(2)的一致持续生存性，并且给出了系统(2)的最终有界域.

定理1若系统(2)满足

(3)

则系统(2)是一致持续生存的.即集合

是系统(2)的正向不变集和最终有界域，其中,

假设xi(t)>Mi，有

由系统(2)得

假设xi(t)

假设ui(t)

则系统(2)是一致持续生存的，即集合D是系统(2)的正向不变集且是系统(2)的解的最终有界区域，证毕.

定理2若渐近周期系统(2)满足条件(3)和

(4)

则系统(2)存在唯一正的全局渐近稳定的渐近周期解.

证明根据定理1可知，系统(2)的解是一致最终有界的，且D为一致最终有界区域.为了研究系统(2)渐近周期解的存在唯一性，建立如下伴随系统

(5)

其中，

是系统(2)在D中的任意两个正解，且满足