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从一道易错题谈谈对函数极值的理解

2016-07-13谢晴

读与写·上旬刊 2016年5期
关键词:极小值极大值初学者

谢晴

中图分类号:G633.6 文献标识码:B 文章编号:1672-1578(2016)05-0369-01

引例:已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值10,则ab=本题是初学者非常容易出错的一道题,错误解答如下:

事实上,上述错误是对函数极值理解不到位造成的。函数的极值相对于函数最值而言,是一个函数的局部概念。一般的,对(a,b)上的连续函数f(x),若在x=x0附近非常小的邻域 (x 0-ε,x0+ε)(ε为非常小的正数)内,①f(x)在x=x0处左增右减,则f(x)在x=x0处取得极大值,x0称为f(x)的极大值点;②f(x)在x=x0处左减右增,则f(x)在x=x0处取得极小值,x0称为f(x)的极小值点。对函数极值的理解要注意以下几点:①在定义域上的单调函数,没有极值;②函数的极值可能有多个,极大值与极小值没有大小关系。这点不同于函数的最值,函数最值是针对函数整体的概念,在[a,b]上的连续函数f(x)一定存在最值,最大值一定大于最小值。③对函数极值的判断中一定要注意在 的左右,函数的单调性是否发生变化。

就人教版的教材而言,不管是选修2-1,还是选修1-1,我们谈的函数的极值,基本上都是在[a,b]上连续,在(a,b)上可导的函数f(x)的极值。对于这样一类的可导函数的极值,我们所要遵循的规律是:对可导函数的极值点x=x0,一定有f`(x0)=0;反过来成立的x=x0不一定能成为极值点。例如,y=x3在R上单调增,不存在极值,而y`=3x2=0有实根x=0。因此不能单纯的以为,可导函数的极值点就是使得f`(x)=0的零点。我们求解可导函数极值点的步骤如下:①f`(x)=0的解x=x0;②判断f`(x)=0在x=x0左右符号是否发生变化:若f`(x)在x=x0邻域内的符号是左正右负,则f(x)在x=x0处取得极大值,x0称为f(x)的极大值点;若f`(x)=0在x=x0邻域内的符号是左负右正,则f(x)在x=x0处取得极小值,x0称为f(x)的极小值点。事实上判断导函数符号的变化,本质上是判断函数在x=x0邻域单调性的变化。

希望上述对函数极值的分析对初学者有实用,另附习题一道,可以检验一下对函数极值概念的把握。

练习:已知函数f(x)=13x3+a2x2+ax+b,当x=-1时,f(x)的极值为-712,求a,b

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