杜彦杰

(黑龙江省齐齐哈尔市民族中学，161006)



例析“点差法”巧解圆锥曲线的中点弦问题

杜彦杰

(黑龙江省齐齐哈尔市民族中学，161006)

直线与圆锥曲线相交所得中点弦问题,是解析几何的重要内容之一,也是高考中经久不衰的热点．此类问题若用一般解法,不仅过程繁琐,而且运算量大又容易出错,而利用“点差法”解决这类问题,常常能起到化繁为简、出奇制胜的效果．

本文采撷课本和近三年高考试卷中若干中点弦问题,从不同的视角加以审视归纳,分类例说“点差法”在解此类问题中的巧用,希望对大家有所帮助．

一、斜率之积为定值的问题

例1(2015年全国高考题)已知椭圆C:9x2+y2=m2(m>0),直线l不过原点O且不平行于坐标轴,l与C有两个交点A,B,线段AB的中点为M.(1)证明:直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值;(2)略．

证明(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0).由题意,得

∵A,B两点在椭圆上,

两式相减,得

9(x1+x2)(x1-x2)+(y1+y2)(y1-y2)=0,

∴kAB·kOM=-9,即直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值．

评注题中涉及直线的斜率与弦的中点坐标问题,故可以采取“点差法”．其解题步骤:一是设出弦的两端点坐标;二是代入圆锥曲线方程;三是作差:两式相减,再用平方差公式把上式展开；四是整理:转化为斜率与中点坐标的关系式,然后求解．

二、圆锥曲线上两点关于某直线对称问题

解(1)如图1，设A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点为M(x0,y0),则

x1+x2=2x0,y1+y2=2y0.

由题意知,m≠0,

A,B两点在椭圆上,

两式相减,得

(x1+x2)(x1-x2)+2(y1+y2)(y1-y2)=0，

评注圆锥曲线中的对称问题综合性较强,在求解时,应抓住“斜率互为负倒数”与“中点”两个关键点．本题利用“点差法”,求得弦中点的坐标,然后利用中点……