钟时泉

(广东省惠州市第一中学，516007)



一道课本例题的应用探究

钟时泉

(广东省惠州市第一中学，516007)

这是个初中和高中都没有直接给出的重要定理,在高中教材中也只是以一个例题形式出现.但它的应用是广泛的.下面就其四个方面的应用加以介绍,仅供参考.

一、倍角与半角

以必修2练习中出现的两个习题为例,按照5个必修课本的使用顺序1-4-5-2-3，在此时学习完了三角函数的半角与倍角公式,用三角函数公式来解,简单快捷.但如果按照教材编排的顺序和不把必修4的内容提前讲,那么碰到这类题很多教师都删了.教材编写者认为放在这里肯定没有问题的,通过初中学过的平面几何知识可以很巧妙地解决这类问题.

例1已知两点A(-2,-10),B(6,-4),直线l的倾斜角是直线AB的倾斜角的一半,求直线l的斜率.

如图1，作直角∆ACB,AD是∠A的平分线，其中点C(6，-10).

由勾股定理，得AB=10，

例2一条直线l经过点P(2,1),并且满足倾斜角是直线l1:x-4y+3=0的倾斜角的两倍,求直线l方程.

如图2，作直角三角形ACB,AD是角A的平分线，其中点A(-3，0)，C(1，0)，D(1，1).

设BD=x,则AB=4x.又由勾股定理，得

(4x)2=42+(x+1)2,

又直线l经过点P，所以直线l的方程为8x-15y-1=0.

二、求轨迹方程

我们知道，设动点P与两个定点A,B的距离的比为定值λ,若λ=1,则动点P的轨迹是线段AB的垂直平分线；若λ≠1,则动点P的轨迹是圆.因此，可以通过用坐标法求出动点P的轨迹方程,进而说明轨迹形状.下面从几何角度求出动点P的轨迹.

例3已知定点A(-2,0),B(1,0),动点P与A,B两点的距离的比为2∶1,求动点P的轨迹方程.

因此，P的轨迹是以N为圆心,2为半径的圆,所以动点P的……