牛玉俊 马戈

摘 要：应用型人才培养模式下，数学分析课程教学改革，要把握人才培养目标定位，研究现代教育的时代特征，提炼教学内容，创新教学模式，强化数学理论与实验的融合，进行学生个性化学习引导，注重学生数学综合应用能力提升。

关键词：数学分析；转型发展；应用型人才；现代教育技术

中图分类号：G624文献标志码：A文章编号：2095-9214（2016）07-0084-03

随着大学教育日趋大众化，新升本的地方高校，近年来已经被推入转型发展的时代大潮之中[1]。数学分析作为数学类专业最重要的基础核心课程，它不仅为学生学习复变函数论、实变函数、泛函分析、微分方程等后继专业课程建立基础，其思想方法，处理问题技巧等，在数学应用和研究中也起着奠基性的作用，对培养基础扎实、知识面广、综合素质强的数学应用型人才至关重要。面对新形势，数学分析教学如何贯彻“应用型人才”培养目标，将传统教学融入时代的脉搏，用先进的教育理念，优化教学内容，改革教学方法，构建课堂教学新模式，是每个数学分析教师义不容辞的担当。本文结合我们数学分析的教学实践，对此进行了一些探索和思考。

一、把握培养“应用型人才”目标定位，提炼教学内容

数学类专业新生进入高校，最瞩目的课程是要进行三个学期高强度的数学分析连续学习。从令学生头疼的“ε-δ”极限、一致连续等概念，到能让很多学生崩溃的闭区间套定理、有限覆盖定理等七个描述实数完备性的定理[2，3]，很多学生第一感受就是云里雾里，对数学分析产生畏惧心理。作为以工科为主的地方院校，数学各专业录取的学生调剂生较多，本身就有思想不稳定、专业学习动力不足的倾向，数学分析若按传统内容模式教学，会让他们雪上加霜，很快丧失学习信心。鉴于此，我们基于培养应用技能型人才的目标定位，在深入研究课程的基础上，对教学重点、难点进行梳理，重新提炼教材内容，对教学内容进行模块化处理，分为基础模块、应用模块和提高模块三类，将数学分析符号化语言、基本概念和数学思想等相关内容，作为基本知识模块；将数学分析建模、基于数学分析基本理论的论证和计算等内容，作为应用知识模块；将数学分析中偏难的定理和命题的证明、特殊问题的解题技巧等内容，作为提高知识模块。

针对基础知识模块，在教学过程中，我们紧紧抓住“极限”这个数学分析的主线，突出从有限到无限思想、变量替换思想、以直代曲思想，通过引入知识背景、名人典故等，在不失数学严谨性的前提下，以平易近人的语言，自然的引入概念，使教学内容更通俗，更接地气，强化学生对知识的理解。针对应用知识模块，我们将其作为教学的重中之重，精心研究教学内容，注意几何的形象和直观，注重不同知识理论间的相互渗透，注意相关知识物理、力学等模型的构建，通过精讲例题和案例，训练学生数学计算与应用能力，建立相关知识和其他它学科的联系，突出数学分析应用特色。针对提高知识模块，我们教学过程中则采用分散难点，总结问题解决思路，强化个性化自学引导等教学方式，使一般学生能理解，对数学有兴趣、自学能力强的学生能掌握。

如应用性广泛的积分“微元法”思想，是数学分析理论的经典，我们从符号∫ 的sum含义，将离散变量的无穷和与连续变量的积分和对应，学生会有一种心领神会的感觉，从而直观感受微分和积分、级数和积分的親密关系，感受数学理论的神奇。教学中将微分和不定积分对应，不定积分和定积分对应，数项级数与无穷积分对应，函数项级数与含参变量无穷积分对应，一致收敛与一致连续对应，柯西收敛准则、收敛定理等也一一对应，在实现模块化教学的同时，学生也会感受到，让他们望而生畏的高深数学理论，也莫过如此，其蕴含的数学思想、分析方法，已升华为学生的数学素养。

二、强化数学理论与实验的融合，提升学生数学应用能力

当今科技都根植于数学，但很多学生对应用型人才“基本素质+特长”的理解有误区，认为数学的应用很抽象。数学分析作为学生最先接触的专业基础课程，在讲授给学生知识的同时，一定要让学生感受到，数学分析中的内容都不是凭空产生的，而是为满足人们的需求与愿望才产生的，在生产、生活、医学、科研等各个领域都有广泛的应用。故此，深挖数学分析理论应用背景，突出其在解决实际问题中的应用，是数学分析教学适应转型发展的重要举措。在教学过程中，我们尽量从实例引入概念，结合教学内容，介绍其在数学建模、挑战杯、ACM竞赛题中的应用，介绍其在一些科研工作中的应用，介绍其自身发展过程中解决物理学、天文学、几何学等方面问题的曲折历程[4]，改变数学分析在学生心目中纯数学理论的形象。

数学分析中很多计算都十分繁杂，在理论分析的基础上，借助数学软件求解，则可事半功倍。教学中结合教学内容，通过应用案例的设计，开设一定数量的数学实验课程，引导学生借助数学软件，辅助创新学习，进行理论验证，解决实际问题，实现学生数学软件应用意识的加强，数学知识应用能力训练，学生数学专业“特长”的提升。

例如泰勒公式，是数值计算重要的理论方法之一，但计算很繁。教学设计中，我们从求正态分布的概率入手，引出计算函数f（x）=e-x2定积分的需求，但因求不出其初等原函数，无法简单求解。引导学生借助泰勒公式分析，利用Matlab软件求解，问题会轻松解决，学生也印象深刻。又如积分和多重积分的计算，在工程、物理、科研一些实际问题会中经常遇到，可能计算公式能写出，但求解却很难。教学中我们引导学生用数学软件去求，不仅能快速解决问题，也有效提升了学生的数学应用能力。

三、研究现代教育的时代特征，构建课堂教学新模式

信息技术时代，知识大爆炸，各种教育教学新技术不断出现，学生学习、生活模式极大丰富，学生个性化学习需求、习惯被更充分尊重。教学中让学生课前预习，课后认真复习，挤时间做课外练习等对多数学生已不现实。学生对数学分析学习的目标定位趋于多元，动力和激情容易分散，自觉学习难以持久，而周围同学的学习及情绪会对个人影响很大。课堂教学如何适应学生时代新特征？课堂教学如何在知识传承中发挥主阵地作用？我们必须直面以对。

课堂教学的主要特征，就是提供一个老师和学生可以面对面交流的地方，老师可以传授知识，也可以通过营造现场氛围，激发学生的学习兴趣、潜质，引导学生高效学习。我们必须意识到，课堂教学承载的传道授业功能，在现代信息技术不断完善，网上教学资源无限丰富的今天，亦非不可替代。只是由于数学符号电脑输入的瓶颈，数学分析知识抽象、逻辑性强的特征，课堂上老师用肢体对数学思维进程的表现，还不可能由新媒体完全替代[5]。因此，课堂教学模式的改革，必须要突出学生学习的主体作用，摆正教师的知识引导角色，恰当运用教学艺术，为学生营造积极热烈的课堂学习体验，帮助学生深刻理解数学方法，突破难点、掌握重点、融会贯通学习要点。

微课、慕课是教育信息化时代，适应学生思维和心理特点的一种新的教学形式，其知识离散化、学习个性化、短小精炼、引人入胜等教育理念，是教育教学一道靓丽的新景观[6]。受其教学体验的影响，近年来我们将数学分析教学重点、难点内容，进行大量的离散化处理，改革课堂教学模式。教学过程中，我们对概念引入、定理分析、例题求解、理论应用等，按不同教学模块，都进行认真的教学设计，尽量使其表现形式丰富，讲课有现场效应，有吸引力。在课堂上融合传统教学与现代教育技术，利用启发式、讨论式、问题驱动式等不同教学手段，进行历史典故的品味，理论概念的理解，知识应用的升华，思想方法的提炼，帮助学生融入课堂学习的氛围，提升问题认知能力，树立学生学好数学分析的信心。

例如“闭区间上连续函数一定存在最大最小值”定理的证明，教学设计浓缩为：用局部到整体的思想，关键工具是极限的局部有界定理和有限覆盖定理，学生一般能很快理解掌握。经典的积分∫+∞0sinxxdx计算问题[3]，乍一看很简单，我们在教学中设计了一系列问题：x=0是函数f（x）=sinxx的瑕点吗？函数f（x）=sinxx是否存在原函数？函数f（x）=sinxx是否存在初等原函数？广义积分∫+∞0sinxxdx收敛吗？收敛值是多少呢？这几个问题，已涉及到函数连续延拓思想，原函数存在定理，初等函数概念，狄利克雷收敛判别法等，到最后一个问题，虽然又回到了题目的本意，凸显的则是问题计算不易这个不争的事实。分析时先借助matlab软件绘图、分析、计算，易得到相关提问答案，并求出收敛结果为π2。用理论方法分析呢？进而我们引导学生，运用转化的思想，通过引入收敛因子e-xy（y>0），转化为含参变量积分I（y）=∫+∞0e-xysinxxdx的讨论。讲课过程中，老师将问题及分析过程在PPT上同步显现，不时走近学生，和学生一起讨论，也时而走向讲台，将数学思想、知识要点，用到的重要定理、结论等，在黑板板书，总结解题方法。最后再告诉学生，学习了复变函数，这个问题真的“很简单”，鼓动学生“去看看”的兴趣。至于将其转化为级数∫π20sinxxdx+∑∞n=1∫π20（-1）n1t+πn+1t-πnsintdt求解的方法，由于技巧较高，课堂只做简单概述，将其列入提高知识模块，鼓励热爱数学的同学课后研究，去仔细体会数学分析奇思妙想的乐趣。

四、重视学生个性化学习引导，改革考核评价体系

当今社会是一个终生需要学习的社会，大学里学生不仅要学习专业知识，更需要进行自学能力的培育、兴趣特长的释放、综合素质的提高。青年学子有太多的兴趣和梦想，有太多的精力张扬个性，对专业学习有着不同的需求和期望。教学不可能像工厂生产一样，把学生教的都一样。作为数学分析教师，针对学生不同的知识需求，要有意识的设计不同层次的教学内容，引导学生正确、高效、有选择性的自主学习，开展讨论合作，科学检索资料，是实现个性化教学习的主要手段。

微积分理论从诞生到完善历经二百年，背后有牛顿、莱布尼兹开创性的工作，有贝克莱悖论引发的数学危机，有柯西、魏尔斯特拉斯的不断完善[4]。他们在当年遇到的问题，也会是我们在教学、学习中遇到的问题，我们在教材中看到的，是最好的结果整理，很多论证实际上是思维过程的倒叙。在教学过程中，通过多媒体展示，介绍数学家背后的小故事，还原数学思维的本来过程，不仅能活跃课堂氛围，还原相关知识的时代价值，更能消除学生学习数学的畏惧心理，提高学生学习兴趣。同时结合教学内容，介绍相关理论延伸出的如小波分析、有限元方法等现代数学分支，及其对现代科技产生的巨大影响等，引导学生胸怀抱负，自觉投身感兴趣领域的学习。

及时总结所学知识，提炼学习感悟，对提高学习效果极其重要。每一个单元内容学完之后，我们要求每个学生要绘制一张重要知识构成的脉络图，然后结合自己的情况、兴趣撰写一篇小总结、小心得或小论文。如对单元中一些重要的定理、例题等，列出其条件与结论，总结其证明或解题过程中用到的数学思想，用到的定理、结论等，写成小总结；或者就其中的一个知识点，上网检索资料，进行较深入分析，写成小心得；或就某个知识的应用，进行相关问题的研究，写一篇小论文。特别要灌输学生，数学问题不存在解法唯一的问题。如求y=xx的导数，转化成y=exlnx，可用复合函数法求导，转化成lny=xlnx，可用隐函数法求导，转化成y=uv，u=x，v=x，可用多元复合数法求导。让学生在平时学习中，不去总想着会不会的问题，而是去发现可否还有更佳解法。通过引导学生主动探索思考，发现更多、更好的解法，挖掘他们创新思维的潜能，调动他们学习的信心和热情，让他们不迷信权威，解题从“对不对”向“好不好”的台阶迈进。另外注重更新教学网站，将国内、国外数学分析优秀网络公开课、慕课等资源[7]，及时向学生介绍和推荐，给有需求的同学去观摩、学习，对实现个性化学习也很有必要。在考试考核方面，我们将小总结、小心得、小论文、数学实验报告等纳入考核成绩中，强化自学能力、动手能力、知识应用能力等综合素质考核。

五、几点思考

数學分析教学内容的整合优化，是数学分析教学改革的难点，也是重点，其尺度难以把握。从近年来的学生情况看，毕业时跨学科就业的学生较多。数学分析教学中，如何保留数学分析的精髓，服务于不同学生的需求，还需要我们更深入的研究。

数学类专业的学生，学生的课程认知、学习态度、精神风貌，对教学效果影响很大。教学中如何以学生为本，培养专业自信，形成积极向上的学风，使更多学生在数学分析的学习中，体验快乐，享受成功，还有很多艰巨的工作。数学分析教学的关键是教师，教师的专业功底、人格魅力，对教学效果有着至关重要的影响。在当今信息教育技术层出不穷的时代，教师如何科学、合理分配精力，及时把最新教育理念、教育技术，融入自己的教学之中，平衡好教学和科研的关系，对很多教师还是一个挑战。

在数学建模、ACM、挑战杯等一系列大学生竞赛机制的驱动下，学生对数学方法的重要性认知提升。如何引导社团科学发展、创新发展，将这些精英的荣耀，惠及更广大的学生，转化为一般学生学习数学分析的动力，真正实现教学质量的全面提升，仍是一个非常现实的问题。

（作者单位：南阳理工学院数学与统计学院）

国家自然科学基金（批准号：U1504105），河南省科技厅（批准号：142300410107，122102210060）资助课题

参考文献：

[1]王萍.新时期理工科大学数学分析课程建设和教学改革探析[J].黑龙江教育学院学报，2014，33 （12）：37-39.

[2]华东师范大学数学系.数学分析[M].4版.北京： 高等教育出版社，2011.

[3]刘玉莲，傅沛仁，林玎等.数学分析讲义[M].北京： 高等教育出版社，2008.

[4]卡尔·B·波耶，唐生译.微积分概念发展史[M].上海：复旦大学出版社，2007.

[5]马戈，杜跃鹏.现代教育技术环境下高等数学教学改革的实践与思考[J].高等数学研究，2004，7（3）：11-13.

[6]杨满福，桑新民.对MOOCs浪潮中微课的深度思考[J].教育发展研究2013（23）：1-5.

[7]额尔敦布和，刘修路，王静宇等.关于“数学分析”课程的教学对策探析[J].大学教育，2013 （5）：109-111.