祝文娟，严　涛

（南京理工大学理学院，江苏南京210094）

求解绝对值方程的PRP型梯度算法

祝文娟，严涛

（南京理工大学理学院，江苏南京210094）

摘要：给出了一种求解绝对值方程Ax -|x | = b的新方法.在矩阵A为对称正定的假设条件下，绝对值方程可转化为一个无约束优化问题，进而用PRP共轭梯度型方法对转化的无约束优化问题进行求解，从而获得原问题的解.证明了新算法在适当条件下可收敛到原问题的解.数值实验也表明了新方法的有效性.

关键词：绝对值方程；PRP共轭梯度法；收敛性；无约束最优化

1　相关基础知识

绝对值方程（Absolute Value Equation，简记为AVE）定义如下：

其中对称正定矩阵A∈Rn×n,b∈Rn，|x|表示对x的各个分量取绝对值.它是一类不可微的NP-hard优化问题.从形式上，问题（1）是绝对值方程Ax + B|x | = b的重要子类［1］.

绝对值方程的研究来源于两个方面，一个是区间线性方程［2］，另一个是线性互补问题.在理论方面，目前对于问题（1）的研究主要集中在解的存在性条件、唯一性条件、替代定理以及各种等价转化形式［2-3］.算法研究主要是以各等价问题为基础构造算法进而求解原问题，并进行相应的收敛性分析.现有算法可以归结为以下几类，一是利用绝对值方程与线性互补问题的等价性，将绝对值方程转化为线性互补问题，然后通过求解转化后的线性互补问题求得原问题的解［4］.二是将绝对值方程光滑化，等价转化成求解一个非线性方程组［5-6］.三是利用迭代算法来求解绝对值方程，即将绝对值方程转化为一个……