刘霞　刘福来

摘 要：本文主要介绍非常规问题的基本含义，采用统计学方法，分析我国苏教版、北师大版、人教版小学数学四年级教科书中非常规数学问题分布特点，提出了小学数学教科书中非常规问题的编写建议。

“问题解决”在国际数学教育中一直是研究热点。我国也出现了许多有关“问题解决”的研究文献，但学生在问题解决中的表现情况并没有明显好转，而国外研究发现小学生在问题解决过程中表现不良的原因与教材中的问题解决题所占比重有关。

本文以苏教版、北师大版、人教版三个版本为例，对这三个版本的小学四年级数学教科书中的问题解决题所占比重进行统计分析，以此了解学生学习数学问题解决题机会的程度，为我国小学数学教科书中非常规问题解决题编写提供建议。

一、非常规问题的基本含义

MAYER对问题解决教学目标的定义是促进学生在非常规问题（如开放性问题）的迁移测验中的操作，因此问题解决中的“问题”指的是非常规数学问题，并不包括常规数学问题。

这里的常规数学问题，就是指课本中有现成的方法、原理或程序进行解答的数学问题。而非常规数学问题，是指无法用现成的常规方法解决的问题。它不是一个简单明确的情景，需要创造性思维和应用一系列认知策略理解问题的情景来找到一个方法解决这个问题。

本文基于初步的统计分析发现，三种版本教科书的非常规问题都很少，而常规题很多。于是笔者决定定义一种介于非常规题和常规题之间的问题，称作“灰色区域题”，它能够刺激非常规的解决方法和触发学生的创新思维。这里把灰色区域题和非常规题暂统称为问题解决题。

为了更清楚区分常规题、灰色区域题和非常规题的区别与联系，下面列举了在认知需求上有明显差异的三个题目。①有一个300mL的杯子，你如何用它来量出2100mL的水？②有一个300mL的瓷杯，一个200mL的玻璃杯和一个250mL的塑料杯。请利用上述杯子，采用不同的方法量1500mL的水。③有两个分别为5L和3L的水壶，你怎样用两个水壶测出4L的水装到一个大碗中？（你可以将水倒入碗里。）

第一个题只需要运用简单的算法就能求解：用杯子装7次水就可以量出2100mL水。第二题需要组合容器才能完成，学生可以找到不同的方法量出1500mL的水；然而要找出所有的解决方法，学生需要系统地处理这个问题。第三个题目更复杂，它是一个真正的非常规问题，需要对情景建立一个模型，必须通过一系列步骤才能量出4L水。

二、三个版本教科书三种类型问题分布的特点

本文主要以小学数学四年级的教科书为例进行分析。我们选择了江苏教育出版社的小学数学教科书 、北京师范大学出版社的小学数学教科书和人民教育出版社的小学数学教科书作为主要研究对象。

我们把每一页的每种类型填空题、计算题和有图片的问题作为一个分析单元。每个分析单元可以作为全班练习、小组讨论及课后作业用。这样的划分很符合每种版本教科书教学需要，所有的教科书都有这样的结构。

依据上述分析框架，分别对三种版本教科书中三种类型的问题进行统计，在教科书中找到一个非常规题则计数一，其他类型问题也是如此。为确保编码的可靠性，统计过程是由两个人分别依据分析框架独立编码，最后进行校正，前后两次的校正一致性保持在95%，对编码结果不一致的例题，经商讨使其编码结果最终达成一致。

1.三种类型问题在三个版本教科书中的分布

三个版本教科书都存在三种类型的问题（表1），常规题是每个版本教科书中所占比重最大的题，平均每册教科书有200个常规题， 14个灰色区域题，有8个非常规题；总问题数为1334个，三个版本的常规题数合计1201个（约占90%），灰色区域题合计87个（约占7%），非常规题合计46个（约占3%）。可知非常规问题和灰色区域问题分布很少。

2.非常规问题解决题的分布比例

三个版本教科书中分析得到的非常规问题解决题比重相当小（表2）。

非常规问题解决题的分布比例从0.58%到4.85%不等。人教版上册占有最高的比例——占总问题数的4.85%；北师大上册占的比例最少，为0.58%；苏教版的上下册占有的非常规问题解决题平均在2.7%左右。

如果把灰色区域题也考虑在内，那么北师大下册所占比重最多为12.11%，北师大上册所占最少，为7.52%。那么三个版本教科书的问题解决题总数相差不远，都在10%左右。可知把所有的问题解决题都考虑到，总的比率仍然相当低。

3.非常规问题解决题所处知识领域的分布

义务教育阶段的数学课程安排了四个部分的内容：“数与代数”“图形与几何”“统计与概率”“综合与实践”。三种版本的教科书在这四部分内容中均涉及非常规问题，但在这四部分内容中并非均有非常规问题题。总体上看，非常规问题解决题在三个版本四个课程内容中的安排主要集中在 “数与代数”部分，而在“综合与实践”板块中没有出现一处非常规问题，因为“综合与实践”的学习方式是结合“数与代数”“空间与图形”“统计与概率”板块的综合应用，所提出来的问题具有情景性、综合性，且问题仍然是常规问题的实际应用而已。因此这里的问题并不具有非常规特性，但在我国“综合与实践”版块中本应该出现最多非常规问题的。各版本均没有很好地把非常规问题解决题延伸到 “图形与几何”“统计与概率”和 “综合与实践”三部分内容中。

三、对策与建议

1.适当把常规题转化为灰色区域题

每本教科书的常规题占绝大部分比例，常规题常常用于概念的理解及规则与程序的掌握。灰色区域题不具备非常规的性质，但可能促进学生探究和发展数学态度，这种态度是解决非常规数学问题的前提操作。因此适当地把常规题转化为灰色区域题，有助于帮助学生形成良好的数学态度。例如，教材中的计算题如人教版下册第一节四则运算练习一的第一题口算题以及第五题计算题可以合编成一道灰色区域题，可以适当改编，使它变成灰色区域题。改编后的题目增加了题目难度，要让学生自己找出五种路径并且计算出答案，比之前直接给出算式计算结果更具有挑战性。

2.适当把灰色区域题转化为非常规题

新课标要求在“问题解决”这块的总体目标上形成解决问题的一些基本策略，体验解决问题策略的多样性，发展实践能力与创新精神。但从非常规问题在各版本教科书的分布及次数来看，非常规问题在教科书中难以寻到它的踪迹。非常规题常以多种类型出现，其中有些看来是很独特的，然而用标准程序却解不出来；还有的则需要有巧妙和清晰的逻辑推理。因此适当地将灰色区域题转换为非常规题是很有必要的。例如可将苏教版上册第十一章练习十的第五题改编为非常规问题。

修改后：在下列魔方中用10、20、30、40、50、60这六个数各填两次，使得这些魔方中的行列和竖列之和等于魔方中间的数，每个方格只填一个数。

3.非常规问题解决题的布局编排应适当拓展延伸

受中国传统数学教育在小学阶段重视计算的影响，各版本教材在“数与代数”领域的非常规问题的编写更加成熟，问题数量更多，而在培养学生的空间观念和形象思维的“空间与图形”领域明显较少，在培养学生的数据分析概念的“统计与概率”及培养学生的问题意识和应用意识“综合与实践”领域中，非常规问题的编写更是凤毛麟角。

为达到新课标在总目标“问题解决”维度中提出的“获得分析问题和解决问题的一些基本方法，体验解决问题方法的多样性，发展创新意识”的要求，因此，在教材各领域适当增加一些非常规题的问题，引导学生在问题解决中用多种方法解答，可发展学生的创新意识。在“综合与实践”领域可编写一些综合性的问题，有利于提高学生综合运用所学知识提出和解决问题的能力。

参考文献：

[1]Kolovou A.，Van den Heuvel-Panhuizen M.，Bakker，A.Non-routine problem solving tasks in primary school mathematics textbooks：A needle in a haystack[J].Mediterranean Journal for Research in Mathematics Education，2009，8（2）：29-66.

[2]孙丽谷，王 林.义务教育课程标准实验教科书（数学）[M].南京：江苏教育出版社，2006.

[3]义务教育数学课程标准研制组.义务教育课程标准实验教科书（数学）[M].北京：北京师范大学出版社，2006.

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