湖北省咸宁市崇阳县金塘中学 李优优

一、对称多项式的定义

定义1：n元多项式，如果对于任意的i,j, 1 ≤i

那么这个多项式称为对称多项式。

这就是说，如果任意对换两个文字的地位，恒不变，它就是一个对称多项式。

例如，就是一个三元对称多项式。特别的，

中的都是n元对称多项式，它们称为初等对称多项式

二、对称多项式的性质

性质1：两个对称多项式的和、差、积仍然是对称多项式。

性质2：对称多项式的多项式仍然是对称多项式

性质3（基本定理）：任一对称多项式可以唯一地表示为初等对称多项式的多项式。

即：设是几个变量的对称多项式，则有且仅有一个多项式存在，使得

性质4：一个m次对称多项式乘以一个n次对称多项式，其积比为一个m+n次对称多项式。

我们常常遇到下述形式的对称多项式：

根据基本定理，Sk可以唯一表示成初等对称多项式的多项式。

当n=2时，有：

当n=3时，有：

对称多项式的理论在初等代数中有许多应用，它能使我们简单而方便地解决某些问题。

三、对称多项式的应用

（一）解对称方程组

它的解法就是先把表示为的多项式，原方程组就变成为的方程组，新方程组往往较原方程组易于求解。如能解出就是一元n次方程的n个根，即是原方程组的一组解。由对称性，任意对换可得原方程组的n个解。

（二）分解对称因式

初等代数中经常会有一些关于多项式因式分解的问题，对于多元高次的多项式很多学生通常无从下手。但对于对称多项式，我们可以应用对称多项式的性质对对称多项式进行因式分解。……