石向阳



“虚设零点”，巧解导数的两类问题

石向阳

在高考函数压轴题中，我们经常会遇到导函数具有零点但求解相对比较繁杂甚至无法求解的问题。此时，我们不必正面强求，而是直接设出零点，充分利用其满足的关系式，谋求一种整体的转换和过渡，再结合其他条件解决问题，我们称这种解题技巧为“虚设零点”法。下面，笔者通过对一些高考题的分析，说明“虚设零点”的三大策略在解题中的作用。

一、导函数零点可求，但极值计算偏繁或无法化简的问题

这种情况，f′（x）=0一般可转化为二次方程，很容易想当然，用求根公式把零点求出来，代入极值中。但接下来要么计算偏繁，要么无法化简，复杂的算式让人无处下手，导致后继工作无法开展。正所谓“思路简单，过程烦人”，这时可以运用以下两个策略化繁为简。

策略1：反代消参，构造关于零点的单一函数。

如果问题要求解（或求证）的结论与参数无关，我们虚设零点后，一般不要用参数表示零点，而是反过来用零点表示参数，然后把极值函数变成关于零点的单一函数，再次求导就可解决相应函数的单调性、极值、最值、不等式证明等问题。

例1（2014全国高考新课标Ⅱ卷（文））已知函数f（x）=x3-3x2+x+2，曲线y=f（x）在点（0，2）处的切线与x轴交点的横坐标为-2。证明：当k＜1时，曲线y=f（x）与直线y=kx-2只有一个交点。

解：曲线y=f（x）与直线y=kx-2只有一个交点⇔g（x）=（fx）-kx+2的图像与x轴只有一个交点。g（x）=x3-3x2+（1-k）x+4，g（′x）=3x2-6x+1-k。

（1）当Δ=36-12（1-k）=24+12k≤0，即k≤-2时，g′（x）≥0，所以g（x）在上为增函数。因为g（-1）=k-1＜0，g（0）=4＞0，所以存在唯一x0∈（-1，0）使得g（x0）=0，所以g（x）的图像与x轴只有一个交点。

（2）当Δ=36-12（1-k）=24+12k＞0，即-2＜k＜1时，（x）=0有两个零点x1，x2，设x1＜x2。……