吴岱芩，黄文韬,2，吴燕兰

(1.桂林电子科技大学 数学与计算科学学院，广西 桂林　541004；2.贺州学院 数学系，广西 贺州　542800)

一类三次Kolmogorov系统的极限环

吴岱芩1，黄文韬1,2，吴燕兰1

(1.桂林电子科技大学 数学与计算科学学院，广西 桂林541004；2.贺州学院 数学系，广西 贺州542800)

摘要：针对一类三次Kolmogorov捕食系统在正平衡点(1，1)的极限环分支问题，利用计算机代数系统Mathematica，将实系统逐步转化为复系统，计算伴随复系统的前5个奇点量，利用雅克比行列式推导正平衡点处可分支的极限环个数，得出该系统在一定条件下可分支5个小振幅极限环的结果。

关键词：正平衡点；Kolmogorov系统；极限环；奇点量

生态学模型的极限环在理论和应用上是重要而有趣的问题，如下生态模型

称为Kolmogorov模型，x、y分别代表2个种群的密度。该模型描述种群间的捕食与被捕食、相互竞争作用以及互惠共存作用。许多生态问题都可归结为f(x，y)和g(x，y)多项式，从而吸引了许多生物数学研究者的关注。针对一类三次Kolmogorov系统，张江山等[1]证明了系统极限环的存在性与唯一性；Lloyd等[2]证明了系统可分支4个极限环；陆征一等[3]得到系统可分支3个极限环(其中2个稳定)的结果；Lloyd等[4]得到系统可分支6个极限环；杜超雄等[5]证明了系统可分支5个极限环，并给出了系统奇点量均为零的充分条件，但未对其加以证明。彭跃辉[6]研究一类具有2个正平衡点的三次Kolmogorov系统，得到可分支6个极限环的结果。为此，研究如下三次Kolmogorov系统：

(1)

其中：b≠1,d≠-1,且a,b,c,d∈R。应用奇点量方法[7-8]，计算正平衡点(1，1)的前5阶奇点量，并给出其奇点量表达式，通过雅克比行列式方法证明系统(1)在正平衡点(1，1)可分支5个小振幅极限环。……