吕晓帆，李姣芬，周学林

(桂林电子科技大学 数学与计算科学学院，广西 桂林　541004)

非精确交替方向法求解秩最小化问题

吕晓帆，李姣芬，周学林

(桂林电子科技大学 数学与计算科学学院，广西 桂林541004)

摘要：针对秩最小化问题的非凸且不连续性质，利用核范数是秩函数在单位球内的最佳凸逼近，构造其凸近似模型。采用非精确交替方向法求解该模型，并证明了其收敛性。分析结果表明，该方法是有效的。

关键词：秩最小化；核范数；凸逼近；非精确交替方向法

近年来，秩最小化问题[1]在实际中有重要研究意义，这一问题在图像处理、信号处理等方面有着广泛应用[2]。参考Lin等[3]提出的Lyapunov方程约束下秩最小化问题，将该问题的约束条件进行推广。

问题1给定矩阵Ai∈Rn×n，Bi∈Rn×n，i=1,2,…,n，求C∈Rn×n，X∈SRn×n，使得

(1)

由内积的定义〈M,N〉=tr(NTM)知，f关于此内积的转置算子定义为：

1奇异值阈值算法及凸包络相关性质

考虑r阶矩阵X∈Rm×n的奇异值分解X=UΣVT。其中：Σ=diag(σi)，1≤i≤r；U、V分别为有正交列的m×r、n×r阶矩阵且奇异值σi为正。对任意τ≥0，奇异值搜索算子：

引理1[4]对任意的τ≥0以及Y∈Rm×n，奇异值收缩算子满足：

定义1(凸包络)[5]假设函数h:L→T，若函数g:L→T对于所有的x∈L均有g(x)⊆h(x)，则称函数g为函数h的凸包络。

2零空间参数化

秩函数是非凸且不连续函数，为克服秩函数的非凸性，Recht[5]证明了单位球内核范数是秩函数的凸包络，提出可以用矩阵核范数代替秩函数，将最小秩问题转化为最小核范数问题，等价于将问题(1)凸近似为：

(2)

为了解决问题(2)，利用零空间参数化[3]将问题(2)中迹约束及广义Sylvester矩阵方程约束转化。……