胡啸晗，杜　妮

(厦门大学数学科学学院，福建厦门361005)

关于单模的顶点和核的一点注记

胡啸晗，杜妮*

(厦门大学数学科学学院，福建厦门361005)

摘要：设G为有限群,k是特征为p的代数闭域(p>0).另设S是单kG-模,V(S)是S的一个顶点,Ker(S)是S的核.在本文中,若Op′(G)⊆Z(G)且每个属于主p-块的单kG-模S均有V(S)⊆Ker(S),则对每个x∈G,令Q=P∩Px,G中存在一个包含Op′(G)的正规子群H,满足Q∈Sylp(H)且|NH(Q)/Q|=|Op′(G)|.另外,设B为G的一个p-块,得到了B为p-根块的一个充分条件.

关键词：单模;顶点;核;p-根块

1背景和主要结论

在本文中,恒设G为有限群,k是特征为p的代数闭域(p>0),P是G的一个Sylowp-子群.另外,文中提及的模均为有限生成左模.

Motose等提出了p-根群的概念.若(kP)G是半单的,其中kP是平凡的kP-模,则称G是一个p-根群.为了研究p-根群与p-幂零群之间的关系,Tsushima提出了p-根块的概念.称G的一个p-块B为p-根块,若eB(kP)G是半单的,其中eB是对应B的块幂等元.在这两个概念提出之后,许多数学家对p-根群进行了深入研究,并取得了大量成果[1-4].特别地,Feit对p-根群进行了详细的介绍(见文献[5]的第6章第6节).

设S是单kG-模且P(S)={H≤G|S是kH-投射模}.称V(S)是S的一个顶点,若V(S)是子群集P(S)中的极小元(见文献[5]中第3章第4节).设Ker(S)={x∈G|xv=v,对任意v∈S}是S的核.在本文中,我们考虑如下条件:

V(S)⊆Ker(S).

(1)

Hida讨论了: 对每个单kG-模S,S均满足条件(1)的情形,并对群G给出了一个抽象群的刻画.

受文献[6]的启发,我们考虑: 对每个属于主p-块的单kG-模S,S均满足条件(1)的情形,并将文献[6]中结论推广到G的主p-块上,得到了如下结论.

定理1若G满足如下两个条件:

(i) Op′(G)⊆Z(G).

(ii) 对每个属于主p-块B0的单kG-模S,均有V(S)⊆Ker(S).

则对于每个x∈G,令Q=P∩Px,G 中存在一个包含Op′(G)的正规子群H,……