于中洋

(北京理工大学 数学与统计学院，北京 100081)



一类四阶常微分方程解的存在性和非共轭性

于中洋

(北京理工大学 数学与统计学院，北京 100081)

摘要：文章主要讨论了一类四阶常微分方程u(4)+u(2)-m4u=0解的存在条件，非共轭以及相关性质。

关键词：四阶常微分方程；解的存在性；非共轭性

1引言

弹性梁是现代飞机、桥梁、轮船、建筑等的基本结构之一，人们常用的刻画弹性梁状态的数学模型是四阶微分方程，如下式：

u(4)=f(x，u，u′，u″)，x∈(0，1)

上式被附加各种边值或初值条件后，能很好地描述弹性梁的各种状态。这里我们考虑描述两端固定反映梁的静止状态的一类四阶常微分方程，如下：

(1)

该微分方程只有唯一参数m。本文由四阶常微分方程的通解和马尔科夫基本解系出发，研究m在什么范围内取值时问题(1)的解存在并且具有非共轭性质。

2解的存在条件

定理 1设m1是下式的第一正根

(m1≈4.68952)。那么问题(1)在0≤mm1时没有正解。

证：由常微分方程，该问题的齐次形式问题有通解

u(x)=c1cosh(x)+c2sinh(x)+c3cos(x)+c4sin(x)

将该问题的边界条件依次代入通解，整理可得

由数值计算，该式的第一正根m1≈4.68952。所以原问题的齐次形式问题在0≤m

3非共轭性

定义1若一个n阶线性微分方程

Ly≡y(n)+p1(x)y(n-1)+…+pn(x)y=0

(2)

pk∈C[a，b]for k=1，...，n.

的任意非零解在在区间[a，b]上的零点个数都少于n，那么该方程就被称为非共轭的，多重零点按其重数记。

定义 2设y1，…，yn∈Cn[a，b]，若下列朗斯基行列式

对任意的x∈[a，b]正定，就称y1，…，yn构成一个马尔科夫系(Markov system)。

引理 1[1，Theorem 3 in Page 94]方程(2)在[a，b]上有一个马尔科夫基本解系当且仅当它在[a，b]上是非共轭的。

已经证明，若Ly≡y(n)+p1(x)y(n-1)+…+pn(x)y=0在[a，b]上非共轭，f∈C[a，b]，k∈Z+，那么两点……