魏明强

(中国传媒大学理工学部，北京 100024)



一阶常微分方程数值解中四种算法的实例比较

魏明强

(中国传媒大学理工学部，北京 100024)

摘要：常用的求解一阶常微分方程初值问题的单步方法有：Euler法、梯形法、Taylor级数法、Rungue-Kutta法。本文借助VC软件，用四种方法求一个实例方程的数值解，通过比较求解结果来分析验证四种解法的误差精度。

关键词：常微分方程；数值解；Euler法

1引言

本文讨论的是一阶常微分方程初值问题的数值求解。

其中f为t和u的已知函数，u0为给定的初值。该初值问题满足Lipschitz条件。

2利用四种方法求解实例

本文将以下面的一阶常微分方程为例子，利用四种方法求其数值解。

在求解该方程的过程中，选取步长h=0.1，利用四种方法求解该方程在t=0.1，0.2，0.3，0.4，0.5，0.6，0.7，0.8，0.9等九个点处的数值解，将数值解的结果与其解析解的结果做分析比较，来验证四种方法的截断误差与误差精度。

2.1求解析解

该方程是简单的一阶常微分方程，求解过程如下：

2.2Euler法的求解

Euler法的计算公式un+1=un+hf(tn，un)

2.3梯形法的求解

2.4Taylor法的求解

2.5RK法的求解

其中K1，K2，K3，K4的值如下：

3四种方法求解的效果比较

本文利用VC6.0软件，求解该实例方程。

利用四种求数值解的方法求其在区间[0，1)以内的数值解，在这里设置步长h=0.1。

各种方法求解的结果如表1。

表1　四种解法的数值解

其效果从图1可以很直观的看出。RK方法和Taylor方法与解析解的值最为接近。近似度最差的就是一阶的Euler法，它的数值解与解析解相差最大，二阶的梯形法效果优于Euler法，但仍然很明显的弱于Taylor法和RK法。

图1　数值解与解析解效果比较