王玉环，胡小莉，李军

(中国传媒大学，北京 100024)



单调测度空间上可测函数序列的收敛性定理

王玉环，胡小莉，李军

(中国传媒大学，北京 100024)

摘要：本文给出了单调测度空间上可测函数序列的几个收敛性定理。经典测度论中相应的一些结果得到进一步推广。

关键词：单调测度；几乎处处收敛；依测度收敛

1引言

在经典测度(即可加测度)理论中，Egoroff定理、Lebesgue定理和Riesz定理等几个著名定理刻画了可测函数序列的几种收敛性之间的关系。在非可加测度理论中，由于失去了在经典测度论中这些定理赖于生存的σ-可加性，因此可加测度理论中的许多重要结论在非可加测度情形中已失效。测度论中的许多重要定理对于仅有单调性的非负集函数不再成立。另一方面，测度的σ-可加性对于这些经典定理仅仅是充分的而不是必要的。 因此，要使测度论中的许多重要定理在非可加测度理论中仍然成立，那么必须在集函数满足单调性的基础上附加较σ-可加性更弱的一些结构。在文献[1，2，3，6]中，关于可加测度的Egoroff定理、Lebesgue定理和Riesz定理被有效地推广到了非可加测度空间上(更详细的综述见文献[4])。

本文中我们进一步讨论单调测度空间上可测函数序列的收敛性。经典测度论中与上述重要定理相关的一些结果([7])被推广到了单调测度空间。 在单调测度空间中附加集函数的不同的连续性，可得到可测函数序列几乎处处收敛或者几乎一致收敛的充分必要条件。我们还将呈现一种强形式的Lebesgue定理。……